A água é bombeada entre dois reservatórios em uma tubulação com as seguintes características: D=300 mm, L=70 m, f=0,025, Sigma K=2,5. A curva característica da bomba de fluxo radial é aproximada pela fórmula:
Hp=22,9+10,7 Q-111 Q^2
Em que Hp está em metros e Q em m^3 / s;
Determine a vazão de descarga e a carga da bomba para as seguintes situações:
© Z2-Z1=25 m, como o fluido deve ser transportado? com uma, duas bombas? Em série ou paralelo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve o transporte de água entre dois reservatórios usando uma tubulação. Os dados que temos são:
  • Diâmetro da tubulação ( D) = 300 mm
  • Comprimento da tubulação ( L) = 70 m
  • Fator de atrito ( f) = 0,025
  • Soma dos fatores de perda de carga ( Sigma K) = 2,5
  • Curva característica da bomba: $ H_p = 22,9 + 10,7 Q - 111 Q^{2} $
Queremos determinar a vazão de descarga e a carga da bomba para a situação onde a diferença de altura entre os dois reservatórios ( Hp = 22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2 ) é de 25 metros. Além disso, precisamos decidir se usamos uma ou duas bombas e se elas devem ser configuradas em série ou paralelo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa diferença de altura de 25 metros. Isso representa a carga estática que a bomba precisa vencer para transportar a água de um reservatório para o outro.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a perda de carga na tubulação. A perda de carga ocorre devido ao atrito do fluido com as paredes da tubulação e pelas perdas locais (como curvas, válvulas, etc.).
A fórmula para perda de carga total ( Hf) é:
Hf = f cdot LD cdot V^22g + Sigma K cdot V^22g
onde:
  • V é a velocidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade (9,81 m/s²).

Passo 4

Para encontrar a velocidade do fluido ( V), usamos a relação entre vazão ( Q) e área da tubulação ( A):
Q = A cdot V
A área da tubulação é:
A = pi D^24
Convertendo o diâmetro para metros:
D = 300 mm = 0,3 m
Então:
A = pi (0,3)^24 approx 0,0707 m^2
Portanto:
V = Q0,0707

Passo 5

Substituindo V na fórmula da perda de carga:
Hf = f cdot LD cdot (Q/0,0707)^22g + Sigma K cdot (Q/0,0707)^22g
Simplificando:
Hf = ( f cdot LD + Sigma K ) cdot Q^22g cdot A^2
Calculando os termos:
f cdot LD = 0,025 cdot 700,3 approx 5,833
Então:
Hf = (5,833 + 2,5) cdot Q^22 cdot 9,81 cdot (0,0707)^2 approx 8,333 cdot Q^20,098
Simplificando:
Hf approx 85,0 Q^2

Passo 6

A carga total que a bomba precisa fornecer ( Ht) é a soma da carga estática e da perda de carga:
Ht = Hestática + Hf = 25 + 85 Q^2 á

Passo 7

Igualamos a carga total à curva característica da bomba para encontrar a vazão ( Q):
22,9 + 10,7 Q - 111 Q^2 = 25 + 85 Q^2
Rearranjando:
-111 Q^2 - 85 Q^2 + 10,7 Q + 22,9 - 25 = 0
-196 Q^2 + 10,7 Q - 2,1 = 0

Passo 8

Multiplicamos todos os termos por -1 para facilitar:
196 Q^2 - 10,7 Q + 2,1 = 0
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Q = 10,7 pm raiz(10,7)^2 - 4 cdot 196 cdot 2,12 cdot 196
Calculando o discriminante:
De
Como o discriminante é negativo, não há solução real. Isso significa que uma única bomba não consegue fornecer a carga necessária para essa condição.

Passo 9

Dado que uma única bomba não é suficiente, precisamos considerar o uso de duas bombas. Podemos configurá-las em paralelo ou em série.
  • Em paralelo: A vazão dobra, mas a altura permanece a mesma.
  • Em série: A altura dobra, mas a vazão permanece a mesma.
Como a carga estática necessária é de 25 m, podemos optar por duas bombas em paralelo para aumentar a vazão, mantendo a carga da bomba.

Passo 10

Portanto, para transportar o fluido com uma diferença de altura de 25 metros, devemos usar duas bombas configuradas em paralelo.

Resposta

Devem ser utilizadas duas bombas funcionando em paralelo para transportar o fluido com uma diferença de altura de 25 metros.

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