A água doce de uma represa tem uma profundidade D=15 m. Um cano horizontal de 3,4 cm de diâmetro atravessa a represa a uma profundidade de 4,2 m. Uma tampa que fechava a abertura do cano é retirada. Qual o volume de água (em m^3 ) que sai do cano num intervalo de 3,0 horas?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma represa com profundidade total de 15 metros. Um cano horizontal com diâmetro de 3,4 cm atravessa a represa a uma profundidade de 4,2 metros. Quando a tampa do cano é removida, água começa a sair por ele. Queremos descobrir o volume de água que sai do cano em 3,0 horas.
Os tópicos envolvidos aqui são a hidrodinâmica, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a determinar a velocidade com que a água sai pelo cano. Para resolver o exercício, precisamos calcular a velocidade de saída da água, a área da seção transversal do cano e, finalmente, o volume de água que flui em 3 horas.

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a altura da coluna de água que está acima da abertura do cano. A profundidade total da represa é 15 m, e o cano está a 4,2 m de profundidade. Portanto, a altura da água acima do cano é:
h = D - profundidade do cano = 15,m - 4,2,m = 10,8,m

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade com que a água sai do cano usando a Lei de Torricelli, que afirma que a velocidade $ v $ da água é dada por:
v
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81,m/s^2 $) e $ h $ é a altura da coluna de água. Substituindo os valores:
v = raiz2gh

Passo 4

Calculando a velocidade:
v = raiz2 times 9,81 times 10,8
v = raiz211,896
v approx 14,56,m/s

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a área da seção transversal do cano. O diâmetro do cano é de 3,4 cm, o que é igual a 0,034 m. A área $ A $ de um círculo é dada por:
A
Substituindo o diâmetro:
A = pi (d2)^2

Passo 6

Calculando a área:
A = pi (0,017,m)^2
A = pi times 0,000289,m^2
A approx 0,000908,m^2

Passo 7

Agora, vamos calcular o fluxo de água $ Q $, que é a quantidade de água que passa pelo cano por segundo. Isso é dado por:
Q
Substituindo os valores:
Q = A times v
Q = 0,000908,m^2 times 14,56,m/s

Passo 8

Por fim, queremos saber o volume total de água que sai do cano em 3,0 horas. Primeiro, convertemos o tempo para segundos:
3,0,horas = 3 times 3600,s = 10800,s
Então, o volume $ V $ é:
V
V = Q times t
V = 0,0132,m^3/s times 10800,s

Resposta

O volume de água que sai do cano em 3,0 horas é de aproximadamente $ 142,56,\mathrm{m}^{3} $.

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