A água se move com uma velocidade de 3,8 m / s em um cano com uma seção reta de 3,1 cm^2. A água desce gradualmente 13,2 m enquanto a seção reta aumenta para 6,5 cm^2. Se a pressão antes da descida é 1,65 times 10^5 Pa, qual é a pressão depois da descida?
Expresse sua resposta em kPa.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício envolvendo o fluxo de água em um cano. A matéria que precisamos utilizar aqui é a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluido em movimento. Além disso, vamos precisar usar a Equação da Continuidade, que nos ajuda a relacionar as áreas das seções do cano com as velocidades do fluxo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Equação da Continuidade para encontrar a velocidade da água na segunda seção do cano. A equação da continuidade é:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Onde:
  • $ A_1 = 3,1 , cm^2 = 3,1 \times 10^{-4} , m^2 $ (convertendo para metros quadrados)
  • $ v_1 = 3,8 , m/s $
  • $ A_2 = 6,5 , cm^2 = 6,5 \times 10^{-4} , m^2 $
Vamos substituir os valores na equação para encontrar $ v_2 $:
A1 = 3,1 , cm^2 = 3,1 times 10^-4 , m^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli, que é dada por:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ P_1 = 1,65 \times 10^5 , Pa $ (pressão inicial)
  • $ \rho = 1000 , kg/m^3 $ (densidade da água)
  • $ v_1 = 3,8 , m/s $
  • $ h_1 = 0 $ (considerando a altura inicial como referência)
  • $ v_2 \approx 1,814 , m/s $
  • $ h_2 = -13,2 , m $ (a água desce, então a altura diminui)
Vamos reorganizar a equação para encontrar $ P_2 $:
P1 = 1,65 times 10^5 , Pa
Substituindo os valores:
rho = 1000 , kg/m^3
Calculando cada termo:
  1. $ \frac{1}{2} \times 1000 \times 3,8^2 = 0,5 \times 1000 \times 14,44 = 7220 , Pa $
  2. $ \frac{1}{2} \times 1000 \times 1,814^2 \approx 0,5 \times 1000 \times 3,292 \approx 1646 , Pa $
  3. $ 1000 \times 9,81 \times 13,2 \approx 129,492 \times 10^3 , Pa $
Agora, somando todos os termos:
v1 = 3,8 , m/s
h1 = 0

Resposta

A pressão depois da descida é aproximadamente 298,07 kPa.

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