- Agua entra em um canal largo e plano, de altura
, com uma velocidade de
. Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por
em que
é medido a partir da linha de centro do canal.
Avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção
na saída do canal e aquele na entrada.
Avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo que vem a seguir foi retirado do enunciado):
- O canal é “largo e plano” e a altura total do fluxo é
. - Na entrada o fluxo é uniforme com velocidade
. - Na saída a distribuição de velocidades ao longo da altura é
em que
é medido a partir da linha de centro do canal (logo
).
- A pergunta: avaliar a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção
na saída e aquele na entrada (ou seja, ).
Observações que serão usadas (não são hipóteses adicionais, apenas esclarecimentos práticos):
- Como o canal é largo, podemos considerar uma unidade de largura na direção perpendicular (por unidade de largura) e integrar só em
. - A densidade do líquido é
(constante); ela pode aparecer nas expressões, mas possivelmente cancela na razão.
Passo 2
O que é “fluxo de quantidade de movimento” que vamos calcular.
- O fluxo de quantidade de movimento na direção
através de uma seção é a integral de sobre a área da seção (por unidade de largura, a área é simplesmente a altura multiplicada por 1). - Em fórmulas, por unidade de largura:
Explicando cada símbolo:
-
é a densidade do fluido (kg/m³). -
é a velocidade na direção no ponto . - A integral soma
ao longo da altura para obter a quantidade de movimento que atravessa a seção por segundo.
Passo 3
Calcular o fluxo de quantidade de movimento na entrada (
).
- Na entrada a velocidade é uniforme
para todo . - Logo, por unidade de largura:
Isso é direto: velocidade constante, multiplica-se pela altura total
.
Passo 4
Determinar
na saída usando conservação de vazão (continuidade de massa).
- A vazão volumétrica por unidade de largura na entrada é
- A vazão na saída é
Calcule a integral passo a passo:
Avaliar cada parte:
Portanto
Assim
Igualando vazões (
):
Cancelar
e resolver para
:
Numérico:
Passo 5
Calcular o fluxo de quantidade de movimento na saída (
).
- Pela definição:
Expandir o integrando:
Calcule a integral termo a termo:
Usando simetria e integrais padrões:
Substituindo:
Simplificar cada termo:
Calcule o coeficiente:
Logo a integral vale
Portanto
Passo 6
Formar a razão
e simplificar.
- Escrevendo as expressões que já temos:
Tomando a razão:
Simplificar os coeficientes:
Usar
(do Passo 4):
Multiplicando:
Passo 7
Interpretação rápida e motivação pessoal.
- O resultado
significa que o fluxo de quantidade de movimento na saída é maior do que na entrada. Isso acontece porque o perfil parabólico concentra mais velocidade no centro (aumentando médio) mesmo que a vazão se mantenha igual. - Força moral: deu trabalho, mas é só aplicar continuidade para achar
e depois integrar para obter . Você consegue fazer isso na prova — lembra de cuidar da simetria e de cancelar e quando possível. Força aí!