1. Agua entra em um canal largo e plano, de altura 2 h, com uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída do canal, a distribuição de velocidades é dada por
\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{u}_{\max }}=1-\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{~h}}\right)^{2}
em que y é medido a partir da linha de centro do canal.
Avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção x na saída do canal e aquele na entrada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo que vem a seguir foi retirado do enunciado):
  • O canal é “largo e plano” e a altura total do fluxo é 2h.
  • Na entrada o fluxo é uniforme com velocidade u_{\text{in}} = 2,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Na saída a distribuição de velocidades ao longo da altura é
\frac{u(y)}{u_{\max}} = 1 - \left(\frac{y}{h}\right)^2,
em que y é medido a partir da linha de centro do canal (logo y\in[-h,h]).
  • A pergunta: avaliar a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção x na saída e aquele na entrada (ou seja, M_{\text{out}}/M_{\text{in}}).
Observações que serão usadas (não são hipóteses adicionais, apenas esclarecimentos práticos):
  • Como o canal é largo, podemos considerar uma unidade de largura na direção perpendicular (por unidade de largura) e integrar só em y.
  • A densidade do líquido é \rho (constante); ela pode aparecer nas expressões, mas possivelmente cancela na razão.

Passo 2

O que é “fluxo de quantidade de movimento” que vamos calcular.
  • O fluxo de quantidade de movimento na direção x através de uma seção é a integral de \rho u^2 sobre a área da seção (por unidade de largura, a área é simplesmente a altura 2h multiplicada por 1).
  • Em fórmulas, por unidade de largura:
M = \int \rho\, u^2\, dA = \rho \int_{-h}^{h} u(y)^2\, dy.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³).
  • u(y) é a velocidade na direção x no ponto y.
  • A integral soma \rho u^2 ao longo da altura para obter a quantidade de movimento que atravessa a seção por segundo.

Passo 3

Calcular o fluxo de quantidade de movimento na entrada ( M_{\text{in}}).
  • Na entrada a velocidade é uniforme u(y)=u_{\text{in}} para todo y\in[-h,h].
  • Logo, por unidade de largura:
M_{\text{in}} = \rho \int_{-h}^{h} u_{\text{in}}^2\, dy = \rho\, u_{\text{in}}^2 \cdot (2h).
Isso é direto: velocidade constante, multiplica-se pela altura total 2h.

Passo 4

Determinar u_{\max} na saída usando conservação de vazão (continuidade de massa).
  • A vazão volumétrica por unidade de largura na entrada é
Q_{\text{in}} = u_{\text{in}}\cdot (2h).
  • A vazão na saída é
Q_{\text{out}} = \int_{-h}^{h} u(y)\, dy = u_{\max}\int_{-h}^{h}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]dy.
Calcule a integral passo a passo:
\int_{-h}^{h}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]dy = \int_{-h}^{h}1\,dy - \frac{1}{h^2}\int_{-h}^{h}y^2\,dy.
Avaliar cada parte:
\int_{-h}^{h}1\,dy = 2h, \qquad \int_{-h}^{h}y^2\,dy = 2\int_{0}^{h}y^2\,dy = 2\cdot\frac{h^3}{3}=\frac{2h^3}{3}.
Portanto
\int_{-h}^{h}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]dy = 2h - \frac{1}{h^2}\cdot\frac{2h^3}{3} = 2h - \frac{2h}{3} = \frac{4h}{3}.
Assim
Q_{\text{out}} = u_{\max}\cdot\frac{4h}{3}.
Igualando vazões ( Q_{\text{in}}=Q_{\text{out}}):
u_{\text{in}}\cdot(2h) = u_{\max}\cdot\frac{4h}{3}.
Cancelar h e resolver para u_{\max}:
u_{\max} = u_{\text{in}}\cdot\frac{2h}{4h/3} = u_{\text{in}}\cdot\frac{3}{2}.
Numérico:
u_{\max} = \frac{3}{2}\cdot u_{\text{in}} = \frac{3}{2}\cdot 2,5 = 3,75\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o fluxo de quantidade de movimento na saída ( M_{\text{out}}).
  • Pela definição:
M_{\text{out}} = \rho \int_{-h}^{h} u(y)^2\, dy = \rho\, u_{\max}^2 \int_{-h}^{h}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]^2 dy.
Expandir o integrando:
\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]^2 = 1 - 2\left(\frac{y}{h}\right)^2 + \left(\frac{y}{h}\right)^4.
Calcule a integral termo a termo:
\int_{-h}^{h}\left(1 - 2\frac{y^2}{h^2} + \frac{y^4}{h^4}\right)dy = \int_{-h}^{h}1\,dy - \frac{2}{h^2}\int_{-h}^{h}y^2\,dy + \frac{1}{h^4}\int_{-h}^{h}y^4\,dy.
Usando simetria e integrais padrões:
\int_{-h}^{h}1\,dy = 2h,
\int_{-h}^{h}y^2\,dy = \frac{2h^3}{3},
\int_{-h}^{h}y^4\,dy = 2\int_{0}^{h}y^4\,dy = 2\cdot\frac{h^5}{5} = \frac{2h^5}{5}.
Substituindo:
\int_{-h}^{h}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]^2 dy = 2h - \frac{2}{h^2}\cdot\frac{2h^3}{3} + \frac{1}{h^4}\cdot\frac{2h^5}{5}.
Simplificar cada termo:
2h - \frac{4h}{3} + \frac{2h}{5} = 2h\left(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}\right).
Calcule o coeficiente:
1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 -10 +3}{15} = \frac{8}{15}.
Logo a integral vale
\int_{-h}^{h}\left[1-\left(\frac{y}{h}\right)^2\right]^2 dy = 2h\cdot\frac{8}{15} = \frac{16h}{15}.
Portanto
M_{\text{out}} = \rho\, u_{\max}^2 \cdot \frac{16h}{15}.

Passo 6

Formar a razão M_{\text{out}}/M_{\text{in}} e simplificar.
  • Escrevendo as expressões que já temos:
M_{\text{in}} = \rho\, u_{\text{in}}^2 \cdot 2h, \qquad M_{\text{out}} = \rho\, u_{\max}^2 \cdot \frac{16h}{15}.
Tomando a razão:
\frac{M_{\text{out}}}{M_{\text{in}}} = \frac{\rho\, u_{\max}^2 \cdot \frac{16h}{15}}{\rho\, u_{\text{in}}^2 \cdot 2h} = \frac{u_{\max}^2}{u_{\text{in}}^2}\cdot\frac{16}{15}\cdot\frac{1}{2}.
Simplificar os coeficientes:
\frac{16}{15}\cdot\frac{1}{2} = \frac{8}{15}.
Usar u_{\max}/u_{\text{in}} = 3/2 (do Passo 4):
\frac{M_{\text{out}}}{M_{\text{in}}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \frac{8}{15} = \frac{9}{4}\cdot\frac{8}{15}.
Multiplicando:
\frac{9\cdot 8}{4\cdot 15} = \frac{72}{60} = \frac{6}{5}.

Passo 7

Interpretação rápida e motivação pessoal.
  • O resultado \dfrac{6}{5} significa que o fluxo de quantidade de movimento na saída é 20\% maior do que na entrada. Isso acontece porque o perfil parabólico concentra mais velocidade no centro (aumentando u^2 médio) mesmo que a vazão se mantenha igual.
  • Força moral: deu trabalho, mas é só aplicar continuidade para achar u_{\max} e depois integrar para obter \rho u^2. Você consegue fazer isso na prova — lembra de cuidar da simetria e de cancelar \rho e h quando possível. Força aí!

Resposta

\dfrac{6}{5}

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