• No recalque há: 1 válvula de retenção, 1 registro de gaveta, 3 joelhos de 90^{\circ} e 1 saída de canalização, cuja soma de comprimentos virtuais resulta em 15,2 m.
  1. (Adaptada de PORTO, 2006, p. 146) As características de uma bomba centrífuga, em uma certa rotação constante, são dadas na tabela abaixo. A bomba é usada para elevar água vencendo uma altura geométrica de 6,5 \mathbf{m}, por meio de uma tubulação de \mathbf{1 0 0 ~ m m} de diâmetro, \mathbf{6 5 ~ m} de comprimento e fator de atrito =0,020.
\mathbf{Q}(\mathbf{L} / \mathbf{s}) 0 12 18 24 30 36
\mathbf{H}(\mathbf{m}) 22,0 21,5 20,0 17,0 11,5 6,0
\boldsymbol{\eta}(\%) 0 74 86 85 70 46
b) Sendo necessário aumentar a vazão pela adição de uma segunda bomba idêntica à outra, investigue se a nova bomba deve ser instalada em série ou em paralelo com a bomba original. Justifique a resposta pela determinação do acréscimo de vazão e a potência consumida por ambas as bombas nas associações.

Passo 1

O que o enunciado pede (parte b): decidir se a segunda bomba idêntica deve ser instalada em série ou em paralelo, justificando a decisão calculando o acréscimo de vazão e a potência consumida por ambas as bombas nas duas associações (série e paralelo).
Dados fornecidos (peguei estes dados do enunciado, da tabela e da figura):
  • Tabela característica da bomba (vazão em L/s e altura em m; retirei os valores diretamente da tabela):
    • Q = 0,\,12,\,18,\,24,\,30,\,36 (em L/s)
    • H = 22{,}0,\,21{,}5,\,20{,}0,\,17{,}0,\,11{,}5,\,6{,}0 (em m)
    • \eta = 0\%,\,74\%,\,86\%,\,85\%,\,70\%,\,46\% (em %)
  • Do enunciado (usei estes valores diretamente):
    • Altura geométrica a vencer: \,6{,}5\\ \text{m}.
    • Tubulação: diâmetro D = 100\\ \text{mm} = 0{,}1\\ \text{m}.
    • Comprimento liso: L = 65\\ \text{m}.
    • Fator de atrito: f = 0{,}020.
    • No recalque há perdas equivalentes (comprimentos virtuais): soma L_{\mathrm{eq}} = 15{,}2\\ \text{m}. (Peguei esse valor do enunciado/figura.)
  • Constantes usadas: densidade da água \rho = 1000\\ \text{kg/m}^3, g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Observação: vou construir a curva do sistema (head vs vazão) usando Darcy–Weisbach e somando o comprimento efetivo L_{\mathrm{tot}} = L + L_{\mathrm{eq}} no trecho de recalque. Vou ajustar a curva da bomba por um polinômio quadrático (suficiente e comum para características de bomba) usando três pontos da tabela e usar essas fórmulas para achar os pontos de operação (interseção curva bomba × curva sistema) para uma bomba, duas em série e duas em paralelo. Não peço nenhuma informação extra.

Passo 2

Ajuste da curva da bomba por um polinômio quadrático (uso pontos da tabela).
  • Escolho o ajuste em L/s e m do tipo
H_{\mathrm{b}}(Q)=a+bQ+cQ^{2},
com Q em L/s e H em m. Do ponto Q=0 temos imediatamente a=22{,}0 (pois H(0)=22{,}0).
  • Uso também os pontos Q=18 com H=20{,}0 e Q=36 com H=6{,}0. Substituindo:
20 = 22 + 18b + 324c,
6 = 22 + 36b + 1296c.
Resolvendo essas duas equações lineares para b e c obtém-se (fácil resolver por eliminação):
b=\frac{2}{9}\approx0{,}222222,\qquad c=-\frac{1}{54}\approx-0{,}0185185.
Portanto a curva ajustada da bomba (em L/s, m) é
\boxed{H_{\mathrm{b}}(Q)=22+\dfrac{2}{9}Q-\dfrac{1}{54}Q^{2}.}
Comentário didático rápido: ajustar por um polinômio quadrático é comum porque muitas curvas de bomba praticamente seguem essa forma — dá uma representação simples e suficiente para calcular interseções com a curva de perda do sistema.

Passo 3

Montagem da curva do sistema H_{\mathrm{s}}(Q) (head requerida pelo sistema em função da vazão).
  • Área da seção interna da tubulação:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}1)^{2}}{4}=0{,}00785398\\ \text{m}^2.
  • Comprimento total no recalque (liso + equivalentes):
L_{\mathrm{tot}} = 65 + 15{,}2 = 80{,}2\\ \text{m}.
  • A perda por atrito Darcy-Weisbach (tratando as perdas equivalentes como comprimento adicional) tem a forma
h_{f} = f\frac{L_{\mathrm{tot}}}{D}\frac{V^{2}}{2g},
onde V=Q_{\mathrm{m^{3}/s}}/A. Escrevendo em função de Q em L/s (mais prático), podemos derivar uma expressão do tipo h_{f}=kQ^{2} com Q em L/s. Fazendo as contas (detalhe do coeficiente):
\frac{L_{\mathrm{tot}}}{D}= \frac{80{,}2}{0{,}1}=802,
k = \frac{f(L_{\mathrm{tot}}/D)}{2g A^{2}} \approx \frac{0{,}02\cdot802}{2\cdot9{,}81\cdot(0{,}00785398)^{2}}\approx 13267{,}6\\ \big(\text{m}/(\text{m}^6/\text{s}^2)\big).
Como Q em L/s tem Q_{\mathrm{m^3/s}}=Q/1000, obtemos (mais prático em L/s):
\boxed{H_{\mathrm{s}}(Q)=6{,}5 + 0{,}0132676\,Q^{2},}
com Q em L/s e H em m. (O termo 6{,}5 é a altura geométrica fixa.)
Breve explicação: a curva do sistema é crescente em Q^{2} porque a perda por atrito cresce com V^{2} e V é proporcional a Q; portanto H_{\mathrm{s}}(Q)= altura fixa + termo proporcional a Q^{2}.

Passo 4

Ponto de operação com uma bomba (interseção H_{\mathrm{b}}(Q)=H_{\mathrm{s}}(Q)).
  • Igualando as duas curvas (todas em L/s e m):
22+\frac{2}{9}Q-\frac{1}{54}Q^{2}=6{,}5+0{,}0132676\,Q^{2}.
  • Reorganizando:
15{,}5 + \frac{2}{9}Q -\Big(\frac{1}{54}+0{,}0132676\Big)Q^{2}=0.
  • Calculando os coeficientes numéricos:
\Big(\frac{1}{54}+0{,}0132676\Big)\approx0{,}03178612.
A equação quadrática fica
0{,}03178612\,Q^{2}-0{,}222222\,Q-15{,}5=0.
  • Resolvendo (fórmula quadrática) obtemos a raiz positiva
\boxed{Q_{1}\approx25{,}86\\ \text{L/s}.}
  • Altura correspondente: substituir em qualquer curva, por exemplo
H_{1}=H_{\mathrm{b}}(25{,}86)\approx15{,}36\\ \text{m}.
Agora calculo a potência consumida pela bomba nesse ponto (hidráulica e potência aportada pela bomba considerando eficiência):
  • Vazão em \text{m}^3/\text{s}: Q_{1,\mathrm{m^3/s}}=25{,}86/1000=0{,}02586\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Potência hidráulica:
P_{h}=\rho g Q H =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}02586\cdot15{,}36\approx3898\\ \text{W}\approx3{,}90\\ \text{kW}.
  • Eficiência \eta: interpolo entre 24\\ \text{L/s} ( 85\%) e 30\\ \text{L/s} ( 70\%). Para Q=25{,}86 dá aproximadamente \eta\approx0{,}8035 (80,35%).
  • Potência de entrada elétrica (por bomba):
P_{\mathrm{in}}=\frac{P_{h}}{\eta}\approx\frac{3898}{0{,}8035}\approx4852\\ \text{W}\approx4{,}85\\ \text{kW}.
Resumo da 1 bomba:
\boxed{Q_{1}\approx25{,}86\\ \text{L/s},\quad P_{\mathrm{in,1}}\approx4{,}85\\ \text{kW}.}

Passo 5

Duas bombas em série (mesma vazão, alturas somam).
  • Curva combinada em série:
H_{\mathrm{2s}}(Q)=2H_{\mathrm{b}}(Q)=2\Big(22+\frac{2}{9}Q-\frac{1}{54}Q^{2}\Big).
Igualando à curva do sistema:
2\Big(22+\frac{2}{9}Q-\frac{1}{54}Q^{2}\Big)=6{,}5+0{,}0132676\,Q^{2}.
  • Reorganizando resulta numa quadrática que, ao resolver numericamente, dá a vazão total do conjunto (a vazão é a mesma pelas duas bombas):
\boxed{Q_{\mathrm{2s}}\approx32{,}07\\ \text{L/s}.}
  • Altura por bomba:
H_{\mathrm{cada}}=H_{\mathrm{b}}(32{,}07)\approx10{,}08\\ \text{m}\quad(\text{logo }H_{\mathrm{total}}\approx20{,}16\\ \text{m}).
  • Eficiência de cada bomba: para Q\approx32{,}07 L/s interpo-lo entre 30\\ \text{L/s} ( 70\%) e 36\\ \text{L/s} ( 46\%). Isso dá \eta\approx0{,}617 (61,7%).
  • Cálculo de potências:
    • Vazão em m^3/s: Q_{\mathrm{m^3/s}}=0{,}03207.
    • Potência hidráulica por bomba:
    P_{h,\mathrm{cada}}=\rho g Q_{\mathrm{m^3/s}} H_{\mathrm{cada}}\approx1000\cdot9{,}81\cdot0{,}03207\cdot10{,}08\approx3173\\ \text{W}\approx3{,}17\\ \text{kW}.
    • Potência de entrada por bomba:
    P_{\mathrm{in,\,cada}}=\frac{3173}{0{,}617}\approx5142\\ \text{W}\approx5{,}14\\ \text{kW}.
    • Potência total (duas bombas):
    P_{\mathrm{in,\,total\,(série)}}\approx2\cdot5{,}14\\ \text{kW}\approx10{,}28\\ \text{kW}.é

Passo 6

Duas bombas em paralelo (mesma altura, vazões somam).
  • Em paralelo cada bomba trabalha com metade da vazão total; a curva equivalente do conjunto é
H_{\mathrm{2p}}(Q)=H_{\mathrm{b}}\Big(\frac{Q}{2}\Big).
Igualando à curva do sistema:
H_{\mathrm{b}}\Big(\frac{Q}{2}\Big)=6{,}5+0{,}0132676\,Q^{2}.
  • Resolvendo numericamente essa equação para Q (agora Q é a vazão total do conjunto) resulta:
\boxed{Q_{\mathrm{2p}}\approx32{,}69\\ \text{L/s}.}
  • Assim cada bomba fornece Q_{\mathrm{cada}}=Q_{\mathrm{2p}}/2\approx16{,}345\\ \text{L/s}.
  • Altura por bomba:
H_{\mathrm{cada}}=H_{\mathrm{b}}(16{,}345)\approx20{,}69\\ \text{m} \quad(\text{igual à altura do sistema para essa \(Q\)}).à
  • Eficiência de cada bomba: para Q\approx16{,}345 L/s, interpolo entre 12\\ \text{L/s} ( 74\%) e 18\\ \text{L/s} ( 86\%). Assim \eta\approx0{,}827 (82,7%).
  • Cálculo de potências:
    • Vazão por bomba em m^3/s: 0{,}016345.
    • Potência hidráulica por bomba:
    P_{h,\mathrm{cada}}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}016345\cdot20{,}69\approx3318\\ \text{W}\approx3{,}32\\ \text{kW}.
    • Potência de entrada por bomba:
    P_{\mathrm{in,\,cada}}=\frac{3318}{0{,}827}\approx4014\\ \text{W}\approx4{,}01\\ \text{kW}.
    • Potência total (duas bombas):
    P_{\mathrm{in,\,total\,(paralelo)}}\approx2\cdot4{,}01\\ \text{kW}\approx8{,}03\\ \text{kW}.

Passo 7

Comparação direta e interpretação (qual instalar?).
  • Resultados numéricos resumidos:
    • Uma bomba:
      • Q_{1}\approx25{,}86\\ \text{L/s}, P_{\mathrm{in,1}}\approx4{,}85\\ \text{kW}.
    • Duas em série:
      • Q_{\mathrm{2s}}\approx32{,}07\\ \text{L/s} (aumento absoluto \approx6{,}21\\ \text{L/s} +24{,}0\% sobre 1 bomba),
      • P_{\mathrm{in,total}}\approx10{,}28\\ \text{kW}.
    • Duas em paralelo:
      • Q_{\mathrm{2p}}\approx32{,}69\\ \text{L/s} (aumento absoluto \approx6{,}83\\ \text{L/s} +26{,}4\% sobre 1 bomba),
      • P_{\mathrm{in,total}}\approx8{,}03\\ \text{kW}.
  • Interpretação e justificativa:
    • Ambas as associações (série e paralelo) aumentam a vazão em relação a uma bomba só. A associação em paralelo produz uma vazão ligeiramente maior ( \approx32{,}69 vs \approx32{,}07\\ \text{L/s}) e, muito importante, consome menos potência total ( \approx8{,}03\\ \text{kW} em paralelo contra \approx10{,}28\\ \text{kW} em série).
    • Em termos práticos: se o objetivo é aumentar a vazão, montar as bombas em paralelo é usualmente a melhor opção porque cada bomba trabalha em vazão menor (próxima à sua região de melhor eficiência neste caso) e o somatório de vazões atinge um valor maior com menor consumo total em comparação com a solução em série.
    • Além disso, do ponto de vista de eficiência operacional, em paralelo cada bomba está mais próxima da sua eficiência máxima (aqui \sim82{,}7\%), enquanto em série cada bomba opera numa condição com eficiência menor ( \sim61{,}7\%), resultando em maior consumo elétrico total.
Conclusão prática: instalar a segunda bomba em paralelo — entrega maior vazão e menor potência total consumida, além de operação mais eficiente das máquinas.

Resposta

Uma bomba: Q\approx25{,}86\\ \text{L/s}, P_{\mathrm{in}}\approx4{,}85\\ \text{kW}.\n
Duas em série: Q\approx32{,}07\\ \text{L/s}, P_{\mathrm{in,total}}\approx10{,}28\\ \text{kW}.\n
Duas em paralelo: Q\approx32{,}69\\ \text{L/s}, P_{\mathrm{in,total}}\approx8{,}03\\ \text{kW}.\n
Recomendação: instalar em paralelo (maior vazão e menor potência total; operação mais eficiente).

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