1. Peças cilíndricas de aço carbono com 5 cm de diâmetro são aquecidas em um forno. Os gases no interior do forno são mantidos a 1400^{\circ} \mathrm{C} e o coefiecinte global de transferência de calor por conveção é de 80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Considerando que as peças entram no forno a 25^{\circ} \mathrm{C}, determine o tempo que elas devem permanecer para que alcancem a temperatura mínima de 1000^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Diâmetro das peças: D=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do forno (fluido): T_{\infty}=1400^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial das peças: T_{i}=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura desejada (mínima): T(t)=1000^{\circ}\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de convecção: h=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}.
O que se pede: determinar o tempo t que as peças devem permanecer no forno para que atinja T(t)=1000^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método e justificativa: para problemas de aquecimento transiente de corpos sólidos há duas abordagens comuns:
  • resolver a equação de difusão térmica (método rigoroso, mais trabalhoso), ou
  • usar o modelo de capacidade concentrada (lumped capacitance), que assume que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme durante o aquecimento.
A condição para usar o modelo lumped é que o número de Biot seja pequeno:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}\lesssim 0{,}1,
onde:
  • h é o coeficiente de convecção,
  • k é a condutividade térmica do material,
  • L_{c} é o comprimento característico do corpo, definido como L_{c}=V/A_{s} (volume sobre área de superfície).
Para um cilindro longo (comprimento muito maior que o diâmetro), que é o caso usual em problemas de peças cilíndricas sem informação de comprimento, usa‑se a aproximação por unidade de comprimento. Nessa hipótese:
L_{c}=\frac{r}{2}=\frac{D}{4}.
Agora é preciso um valor típico de condutividade do aço carbono; usarei valores típicos:
k\approx 54\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\quad(\text{aço carbono, ordem de grandeza}).ç
Calculemos \mathrm{Bi}:
L_{c}=\frac{D}{4}=\frac{0,05}{4}=0,0125\\ \mathrm{m},
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{80\cdot 0,0125}{54}\approx 0{,}0185.
Como \mathrm{Bi}\approx 0{,}0185<0{,}1, o modelo lumped é válido. (Se o leitor usar outro valor de k típico do aço, \mathrm{Bi} permanece pequeno e a conclusão é a mesma.)

Passo 3

Equação do modelo lumped (básica) e definição das quantidades:
A partir do balanço de energia para um corpo cujo interior mantém temperatura uniforme resulta-se
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\bigl(-\tfrac{h A_{s}}{\rho c V}\,t\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do corpo no tempo t,
  • T_{\infty} é a temperatura do fluido (forno),
  • T_{i} é a temperatura inicial do corpo,
  • h coeficiente de convecção,
  • A_{s} área de superfície externa do corpo,
  • V volume do corpo,
  • \rho densidade do material,
  • c calor específico do material.
Para um cilindro longo tratamos por unidade de comprimento; então
\frac{A_{s}}{V}=\frac{2\pi r}{\pi r^{2}}=\frac{2}{r}=\frac{4}{D}.
Precisamos de \rho e c do aço carbono; valores típicos usados em exercícios:
\rho\approx 7800\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\qquad c\approx 460\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
Definindo a constante de tempo (inversa do coeficiente exponencial):
\tau=\frac{\rho c}{h(A_{s}/V)}=\frac{\rho c}{h\,\dfrac{4}{D}}=\frac{\rho c D}{4h}.
Calculemos \tau:
\rho c =7800\cdot 460=3\,588\,000\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}\mathrm{K},
h\frac{4}{D}=80\cdot\frac{4}{0,05}=80\cdot 80=6400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}\mathrm{K},
\tau=\frac{3\,588\,000}{6400}\approx 560{,}625\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Resolver para o tempo t que leva de T_{i}=25^{\circ}\mathrm{C} até T(t)=1000^{\circ}\mathrm{C}.
Reescrevendo a equação exponencial:
\exp\!\bigl(-\tfrac{t}{\tau}\bigr)=\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}.
Isolando t:
t=-\tau\ln\!\biggl(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\biggr).
Calculemos as diferenças:
T_{i}-T_{\infty}=25-1400=-1375\\ \mathrm{K},
T(t)-T_{\infty}=1000-1400=-400\\ \mathrm{K}.
Portanto a razão é
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\frac{-400}{-1375}=\frac{400}{1375}\approx 0{,}290909\ldots
Logo
t=-560{,}625\cdot\ln(0{,}290909\ldots)\approx 560{,}625\cdot 1{,}233594\approx 691{,}999\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t\approx 691{,}999\\ \mathrm{s}\approx 11{,}53\\ \mathrm{min}\approx 11\\ \mathrm{min}\\\ 32\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e observações finais rápidas (ânimo!): o resultado significa que, sob as hipóteses feitas (aço carbono com \rho=7800\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, c=460\\ \mathrm{J}/\mathrm{kgK}, k\approx54\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}, peça longa onde as pontas são desprezíveis e convecção com h=80\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}), a peça atinge 1000^{\circ}\mathrm{C} em aproximadamente 11{,}5 minutos. Pequenas variações nos valores de \rho, c ou k mudam pouco o tempo; o passo crítico foi verificar \mathrm{Bi}<0{,}1 e então usar o modelo lumped com segurança. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

t\approx 692\\ \mathrm{s}\approx 11{,}53\\ \mathrm{min}

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