- Peças cilíndricas de aço carbono com 5 cm de diâmetro são aquecidas em um forno. Os gases no interior do forno são mantidos a
e o coefiecinte global de transferência de calor por conveção é de
. Considerando que as peças entram no forno a
, determine o tempo que elas devem permanecer para que alcancem a temperatura mínima de
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Diâmetro das peças:
. - Temperatura do forno (fluido):
. - Temperatura inicial das peças:
. - Temperatura desejada (mínima):
. - Coeficiente global de convecção:
.
O que se pede: determinar o tempo
que as peças devem permanecer no forno para que atinja
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa: para problemas de aquecimento transiente de corpos sólidos há duas abordagens comuns:
- resolver a equação de difusão térmica (método rigoroso, mais trabalhoso), ou
- usar o modelo de capacidade concentrada (lumped capacitance), que assume que a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme durante o aquecimento.
A condição para usar o modelo lumped é que o número de Biot seja pequeno:
onde:
-
é o coeficiente de convecção, -
é a condutividade térmica do material, -
é o comprimento característico do corpo, definido como (volume sobre área de superfície).
Para um cilindro longo (comprimento muito maior que o diâmetro), que é o caso usual em problemas de peças cilíndricas sem informação de comprimento, usa‑se a aproximação por unidade de comprimento. Nessa hipótese:
Agora é preciso um valor típico de condutividade do aço carbono; usarei valores típicos:
Calculemos
:
Como
, o modelo lumped é válido. (Se o leitor usar outro valor de
típico do aço,
permanece pequeno e a conclusão é a mesma.)
Passo 3
Equação do modelo lumped (básica) e definição das quantidades:
A partir do balanço de energia para um corpo cujo interior mantém temperatura uniforme resulta-se
A partir do balanço de energia para um corpo cujo interior mantém temperatura uniforme resulta-se
onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura do fluido (forno), -
é a temperatura inicial do corpo, -
coeficiente de convecção, -
área de superfície externa do corpo, -
volume do corpo, -
densidade do material, -
calor específico do material.
Para um cilindro longo tratamos por unidade de comprimento; então
Precisamos de
e
do aço carbono; valores típicos usados em exercícios:
Definindo a constante de tempo (inversa do coeficiente exponencial):
Calculemos
:
Passo 4
Resolver para o tempo
que leva de
até
.
Reescrevendo a equação exponencial:
Isolando
:
Calculemos as diferenças:
Portanto a razão é
Logo
Convertendo para minutos:
Passo 5
Interpretação e observações finais rápidas (ânimo!): o resultado significa que, sob as hipóteses feitas (aço carbono com
,
,
, peça longa onde as pontas são desprezíveis e convecção com
), a peça atinge
em aproximadamente
minutos. Pequenas variações nos valores de
,
ou
mudam pouco o tempo; o passo crítico foi verificar
e então usar o modelo lumped com segurança. Vai dar certo na prova — respira e confia no processo!