1. A água entra no rotor de uma bomba radialmente e ela o deixa com velocidade absoluta tangencial igual à 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O diâmetro do rotor é 60 mm e rotor gira a 1800 rpm . Determine a perda de energia disponível no escoamento através do rotor e a eficiência hidráulica da bomba sabendo que o aumento de pressão de estagnação no rotor é igual a 45 kPa .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei esses dados do enunciado):
  • Diâmetro do rotor: D=60\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade periférica absoluta do fluido na saída do rotor (componente tangencial): c_{u2}=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Rotor gira a 1800\\ \mathrm{rpm}.
  • Aumento de pressão de estagnação no rotor: \Delta p_0 = 45\\ \mathrm{kPa}.
  • Densidade da água (valor padrão usado): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
O enunciado pede:
  1. A perda de energia disponível no escoamento através do rotor.
  2. A eficiência hidráulica da bomba.

Passo 2

Transformar os dados geométricos e de rotação em velocidade periférica do rotor U (velocidade da borda do rotor):
  • Primeiro obter o raio: r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{60\\ \mathrm{mm}}{2}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Converter a rotação para velocidade angular \omega:
\omega = 1800\\ \mathrm{rpm}\times\frac{1\\ \mathrm{rev}}{60\\ \mathrm{s}} \times 2\pi = 30\cdot 2\pi = 60\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • A velocidade periférica U na borda do rotor é
U = \omega r = (60\pi)\cdot 0,03 = 1{,}8\pi\\ \mathrm{m/s}.
Calcule numérico (mantendo precisão):
U \approx 5{,}654866776\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática: U é a velocidade tangencial das pás na periferia; usamos \omega r porque velocidade linear é produto da velocidade angular pelo raio.

Passo 3

Calcular a energia específica ideal disponível (trabalho específico ideal dado pelo rotor) usando a fórmula de Euler para bombas (forma simples quando a entrada tem componente tangencial nula):
\text{trabalho específico ideal} = U\; c_{u2} - U\; c_{u1}.í
Como a água entra radialmente, a componente tangencial na entrada é nula: c_{u1}=0. Portanto
w_{\text{ideal}} = U\; c_{u2}.
Substituindo valores:
w_{\text{ideal}} = (5{,}654866776)\times(10) \approx 56{,}54866776\\ \mathrm{J/kg}.
Explicação didática: Essa expressão dá a energia por unidade de massa que o rotor pode, em princípio, transferir ao fluido (é a forma comum da equação de Euler para máquinas rotativas: energia específica = diferença de momentos angulares por massa vezes U). Aqui medimos energia em \mathrm{J/kg} (m2/s2), conveniente para comparar com \Delta p_0/\rho.

Passo 4

Converter o aumento de pressão de estagnação fornecido pelo enunciado em energia específica efetivamente recebida pelo fluido:
  • Aumento de pressão de estagnação: \Delta p_0 = 45\\ \mathrm{kPa} = 45\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Energia específica efetiva (por unidade de massa) é \dfrac{\Delta p_0}{\rho}:
w_{\text{efetivo}} = \frac{\Delta p_0}{\rho} = \frac{45\,000}{1000} = 45\\ \mathrm{J/kg}.
Explicação didática: para fluido incompressível, uma variação de pressão corresponde a uma variação de energia por unidade de volume; dividindo por \rho obtemos energia por unidade de massa ( \mathrm{J/kg}), compatível com o w_{\text{ideal}} calculado antes.

Passo 5

Calcular a perda de energia disponível no escoamento através do rotor:
\text{perda específica} = w_{\text{ideal}} - w_{\text{efetivo}}.í
Substituindo:
\text{perda específica} \approx 56{,}54866776 - 45 = 11{,}54866776\\ \mathrm{J/kg}.í
Para expressar também por unidade de volume (útil na engenharia), multiplicar por \rho:
\text{perda por volume} = \rho\cdot\text{perda específica} \approx 1000\cdot 11{,}54866776 \approx 11{,}548{,}667{,}76\\ \mathrm{Pa}\approx 11{,}55\\ \mathrm{kPa}.í
Explicação didática: essa perda representa as energias dissipadas no próprio escoamento (vórtices, atrito interno, choques) que reduzem a energia efetivamente recebida pelo fluido em relação ao ideal previsto por Euler.

Passo 6

Calcular a eficiência hidráulica da bomba. Definição prática da eficiência hidráulica: razão entre a energia efetivamente transferida ao fluido e a energia que idealmente poderia ser transferida:
\eta_h = \frac{w_{\text{efetivo}}}{w_{\text{ideal}}}.
Substituindo:
\eta_h = \frac{45}{56{,}54866776} \approx 0{,}79591837 \approx 79{,}6\%.
Explicação didática: essa eficiência mede quanto do “trabalho ideal” do rotor realmente aparece como aumento de energia do fluido (no nosso caso medido pela elevação da pressão de estagnação). O restante é perdido em dissipação interna.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: resumindo, o rotor, pela velocidade e geometria, poderia fornecer cerca de 56{,}55\\ \mathrm{J/kg} ao fluido, mas mediu-se um acréscimo real de 45\\ \mathrm{J/kg}. A diferença ( \sim 11{,}55\\ \mathrm{J/kg} ou \sim 11{,}55\\ \mathrm{kPa}) são perdas no escoamento; a eficiência hidráulica ficou em torno de 79{,}6\%. Vai dar tudo certo na prova — essa é a forma padrão de analisar bombas via equação de Euler e balanço de energia por unidade de massa.

Resposta

Perda de energia disponível no escoamento: 11{,}55\\ \mathrm{J/kg} (aprox.\ 11{,}55\\ \mathrm{kPa} por unidade de volume)
Eficiência hidráulica da bomba: 79{,}6\\ \%

Exercícios relacionados