8.38 A vazáo de ågua na tubulaçăo mostradá ná Fig. P8.38 é
. O dispositivo instalado no prédio é uma bomba ou uma turbina? Explique e determine a sua potência. Despreze todas a perdas de carga localizadas e admita que o coeficiente de atrito da tubulação é igual a 0,025 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei explicitamente estes números da imagem).
- Vazão:
. - Comprimento da tubulação:
(pegado da imagem). - Diâmetro da tubulação:
(pegado da imagem). - Elevação no reservatório (superfície livre):
(pegado da imagem). - Elevação no ponto de saída/jato:
(pegado da imagem). - Coeficiente de atrito (Darcy):
(dado no enunciado). - Desprezar perdas de carga localizadas (dado).
- Pedidos do problema:
- Identificar se o dispositivo instalado no prédio é uma bomba ou uma turbina (explique);
- Determinar a potência (potência hidráulica que o dispositivo deve entregar/retirar), desprezando perdas locais.
Assumirei a densidade da água
e a gravidade
.
Passo 2
Calcular a área da seção e a velocidade média na tubulação (passo-a-passo).
A área:
A área:
Substituindo:
A velocidade média:
Passo 3
Calcular a cabeça cinética
no ponto de saída (importante na equação de Bernoulli).
Passo 4
Calcular a perda por atrito ao longo da tubulação usando a fórmula de Darcy–Weisbach. Vou explicar a fórmula antes de usar:
- A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito é
. -
é a perda de carga por atrito (em metros de coluna de fluido). -
é o coeficiente de atrito de Darcy (adimensional). -
é o comprimento da tubulação (m). -
é o diâmetro (m). -
é a velocidade média (m/s). -
é a aceleração da gravidade (m/s^2).
-
Calculemos passo a passo:
Interpretação rápida: a perda por atrito (cerca de
) é muito maior que a diferença de cota disponível entre reservatório e saída (
). Isso já dá uma pista sobre bomba vs. turbina, mas explico formalmente depois.
Passo 5
Aplicar a equação da energia (Bernoulli) entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a saída livre do jato (ponto 2), incluindo a cabeça fornecida pela máquina
(positiva se a máquina adiciona energia, negativa se retira energia). A forma conveniente é:
Como ambas as superfícies estão à atmosfera,
e as parcelas de pressão se cancelam. A velocidade no reservatório é desprezível (
). Então isolamos
:
Substituindo valores (note que
):
Significado físico:
significa que a máquina precisa adicionar energia ao fluido (ou seja, é uma bomba). Se tivéssemos obtido
, a máquina retiraria energia (seria uma turbina).
Passo 6
Calcular a potência hidráulica necessária (potência entregue ao fluido pela bomba). A potência hidráulica é
Substituindo
,
,
e
:
Primeiro calcule
:
Então
Arredondando:
Observação didática: esta é a potência hidráulica que a bomba deve fornecer ao fluido (desprezando perdas locais e assumindo
e
como acima). Na prática a potência no eixo da bomba seria maior, porque a bomba tem eficiência menor que
; para obter a potência elétrica requerida seria necessário dividir por essa eficiência.
Passo 7
Interpretação final (resumindo a explicação):
- Como a máquina precisa acrescentar uma cabeça positiva
para vencer as perdas por atrito e fornecer a velocidade de saída, o dispositivo é uma bomba (se fosse turbina a cabeça fornecida pela máquina seria negativa). - A potência hidráulica exigida calculada é
.
Resposta
Bomba