8.38 A vazáo de ågua na tubulaçăo mostradá ná Fig. P8.38 é 0,113 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O dispositivo instalado no prédio é uma bomba ou uma turbina? Explique e determine a sua potência. Despreze todas a perdas de carga localizadas e admita que o coeficiente de atrito da tubulação é igual a 0,025 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei explicitamente estes números da imagem).
  • Vazão: \,Q=0,113\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Comprimento da tubulação: \,L=91,4\\ \mathrm{m} (pegado da imagem).
  • Diâmetro da tubulação: \,D=0,123\\ \mathrm{m} (pegado da imagem).
  • Elevação no reservatório (superfície livre): \,z_1=160\\ \mathrm{m} (pegado da imagem).
  • Elevação no ponto de saída/jato: \,z_2=151\\ \mathrm{m} (pegado da imagem).
  • Coeficiente de atrito (Darcy): \,f=0,025 (dado no enunciado).
  • Desprezar perdas de carga localizadas (dado).
  • Pedidos do problema:
    1. Identificar se o dispositivo instalado no prédio é uma bomba ou uma turbina (explique);
    2. Determinar a potência (potência hidráulica que o dispositivo deve entregar/retirar), desprezando perdas locais.
Assumirei a densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e a gravidade g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Calcular a área da seção e a velocidade média na tubulação (passo-a-passo).
A área:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}
Substituindo:
A=\frac{\pi(0,123)^{2}}{4}
A\approx 0,01188\\ \mathrm{m^{2}}
A velocidade média:
v=\frac{Q}{A}
v=\frac{0,113}{0,01188}
v\approx 9,52\\ \mathrm{m/s}

Passo 3

Calcular a cabeça cinética \dfrac{v^{2}}{2g} no ponto de saída (importante na equação de Bernoulli).
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(9,52)^{2}}{2\cdot 9,81}
\frac{v^{2}}{2g}\approx \frac{90,7}{19,62}\approx 4,63\\ \mathrm{m}

Passo 4

Calcular a perda por atrito ao longo da tubulação usando a fórmula de Darcy–Weisbach. Vou explicar a fórmula antes de usar:
  • A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito é \,h_{f}=f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}.
    • h_{f} é a perda de carga por atrito (em metros de coluna de fluido).
    • f é o coeficiente de atrito de Darcy (adimensional).
    • L é o comprimento da tubulação (m).
    • D é o diâmetro (m).
    • v é a velocidade média (m/s).
    • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
Calculemos passo a passo:
\frac{L}{D}=\frac{91,4}{0,123}\approx 743{,}9
f\frac{L}{D}=0,025\cdot 743{,}9\approx 18{,}5975
h_{f}=18{,}5975\cdot 4{,}63\approx 86{,}0\\ \mathrm{m}
Interpretação rápida: a perda por atrito (cerca de 86\\ \mathrm{m}) é muito maior que a diferença de cota disponível entre reservatório e saída ( 9\\ \mathrm{m}). Isso já dá uma pista sobre bomba vs. turbina, mas explico formalmente depois.

Passo 5

Aplicar a equação da energia (Bernoulli) entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a saída livre do jato (ponto 2), incluindo a cabeça fornecida pela máquina h_{m} (positiva se a máquina adiciona energia, negativa se retira energia). A forma conveniente é:
\frac{p_{1}}{\gamma}+z_{1}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}+h_{m}-h_{f} = \frac{p_{2}}{\gamma}+z_{2}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}
Como ambas as superfícies estão à atmosfera, \,p_{1}=p_{2} e as parcelas de pressão se cancelam. A velocidade no reservatório é desprezível ( v_{1}\approx 0). Então isolamos h_{m}:
h_{m}=z_{2}-z_{1}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+h_{f}
Substituindo valores (note que z_{2}-z_{1}=151-160=-9\\ \mathrm{m}):
h_{m}=-9 + 4{,}63 + 86{,}0
h_{m}\approx 81{,}63\\ \mathrm{m}
Significado físico: h_{m}>0 significa que a máquina precisa adicionar energia ao fluido (ou seja, é uma bomba). Se tivéssemos obtido h_{m}<0, a máquina retiraria energia (seria uma turbina).

Passo 6

Calcular a potência hidráulica necessária (potência entregue ao fluido pela bomba). A potência hidráulica é
P=\rho g Q h_{m}
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}, Q=0,113\\ \mathrm{m^{3}/s} e h_{m}=81{,}63\\ \mathrm{m}:
P=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}113\cdot 81{,}63
Primeiro calcule \rho g Q:
\rho g Q=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}113 \approx 1108{,}5\\ \mathrm{N/s}
Então
P\approx 1108{,}5\cdot 81{,}63 \approx 90\,500\\ \mathrm{W}
Arredondando:
P\approx 90{,}5\\ \mathrm{kW}
Observação didática: esta é a potência hidráulica que a bomba deve fornecer ao fluido (desprezando perdas locais e assumindo \rho e g como acima). Na prática a potência no eixo da bomba seria maior, porque a bomba tem eficiência menor que 100\%; para obter a potência elétrica requerida seria necessário dividir por essa eficiência.

Passo 7

Interpretação final (resumindo a explicação):
  • Como a máquina precisa acrescentar uma cabeça positiva h_{m}\approx 81{,}6\\ \mathrm{m} para vencer as perdas por atrito e fornecer a velocidade de saída, o dispositivo é uma bomba (se fosse turbina a cabeça fornecida pela máquina seria negativa).
  • A potência hidráulica exigida calculada é \approx 90{,}5\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Bomba
P\approx 90{,}5\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados