1. A vazão de água em uma turbina de uma central hidroelétrica é 252,4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e a carga na seção de alimentação da turbina é igual a 30,5 \mathrm{~m}. Qual é a máxima potência que esta turbina pode gerar? Porque o valor realmente gerado pela turbina é menor que o valor calculado?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Vazão de água: Q = 252{,}4\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Carga (head) na seção de alimentação da turbina: h = 30{,}5\\ \mathrm{m}.
O que a questão pede:
  1. Calcular a máxima potência que esta turbina pode gerar (valor teórico máximo).
  2. Explicar por que o valor realmente gerado pela turbina é menor que o valor calculado.

Passo 2

Ideia física e fórmula usada (explicação passo a passo, sem pressa).
  • Conceito: cada quilograma de água que desce pela diferença de altura h perde energia potencial gravitacional igual a g h (energia por unidade de massa), onde g é a aceleração da gravidade.
  • Se chega ao turbogerador um fluxo de massa \dot{m} (kg/s), a energia potencial por segundo — que é potência teórica disponível — é \dot{m}\,g\,h.
  • Relação entre vazão volumétrica Q e vazão mássica \dot{m}: \dot{m} = \rho\,Q, onde \rho é a densidade da água.
  • Juntando tudo chega-se à expressão padrão para potência hidráulica disponível:
P_{\text{máx}} = \rho\,Q\,g\,h.á
Explicando cada símbolo:
  • \rho = densidade do fluido, para água doce normalmente usamos \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Q = vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s}.
  • g = aceleração da gravidade, toma-se g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • h = carga (head) em metros.
  • Unidade: \mathrm{kg/m^{3}}\cdot\mathrm{m^{3}/s}\cdot\mathrm{m/s^{2}}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{kg\;m^{2}/s^{3}} = \mathrm{W}. Assim a fórmula é coerente dimensionalmente.

Passo 3

Cálculo numérico com todas as contas mostradas.
  1. Calcular a vazão mássica:
\dot{m} = \rho\,Q = 1000 \cdot 252{,}4 = 252\,400\\ \mathrm{kg/s}.
  1. Aplicar a fórmula da potência:
P_{\text{máx}} = \rho\,Q\,g\,h = 252\,400 \cdot 9{,}81 \cdot 30{,}5\\ \mathrm{W}.á
  1. Fazer multiplicações em etapas (para ficar fácil de acompanhar):
Q\cdot h = 252{,}4 \cdot 30{,}5 = 7\,698{,}2,
\rho g = 1000 \cdot 9{,}81 = 9\,810.
Logo
P_{\text{máx}} = (\rho g)\,(Qh) = 9\,810 \cdot 7\,698{,}2 = 75\,519\,342\\ \mathrm{W}.á
  1. Converter para megawatts:
75\,519\,342\\ \mathrm{W} = 75{,}519342\\ \mathrm{MW}\approx 75{,}52\\ \mathrm{MW}.

Passo 4

Resumo do resultado numérico (claro e direto)
  • A potência hidráulica máxima teoricamente disponível é
P_{\text{máx}} \approx 75{,}52\\ \mathrm{MW}.á

Passo 5

Por que o valor realmente gerado é menor? (explicação didática e ilustrada)
  • O valor calculado em P_{\text{máx}}=\rho Q g há é o máximo teórico assumindo conversão perfeita (eficiência 100\%) de toda a energia potencial da água em energia elétrica. Na prática, a conversão tem perdas em várias etapas:
    • Perdas hidráulicas no conduto e na turbina (atrito, turbulência, separação de fluxo).
    • Perdas por vazamento (entre partes móveis e fixas da turbina).
    • Perdas mecânicas (rolamentos, atritos no eixo).
    • Perdas na máquina geradora elétrica (resistência, aquecimento, perdas magnéticas).
    • Perdas no sistema de controle, transformadores e cabos.
    • Fenômenos indesejáveis como cavitação reduzem eficiência e podem limitar operação.
  • Em termos práticos, define-se uma eficiência global \eta (produto das eficiências hidráulica + mecânica + elétrica), com 0<\eta<1. A potência elétrica realmente gerada é
P_{\text{real}} = \eta\,P_{\text{máx}}.á
  • Exemplos de valores típicos: turbinas modernas têm eficiência hidráulica ~ 0{,}9 a 0{,}95 e geradores ~ 0{,}95 a 0{,}99. Isso leva a uma eficiência global comum entre 0{,}85 e 0{,}92. Assim, se \eta=0{,}9,
P_{\text{real}}\approx 0{,}9\cdot 75{,}52\\ \mathrm{MW}\approx 67{,}97\\ \mathrm{MW}.
  • Conclusão: o valor real é menor por causa dessas perdas inevitáveis — por isso sempre se fala em potência hidráulica disponível (teórica) e potência elétrica gerada (prática, com eficiência).

Passo 6

Dica rápida para prova (como fazer rapidamente sem erro):
  • Use sempre a fórmula direta P=\rho Q g h com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Verifique unidades: Q em \mathrm{m^{3}/s}, h em \mathrm{m}.
  • Se pedirem potência elétrica, multiplique por \eta (dado ou estimado). Se não der \eta, comente que o valor obtido é teórico e a real será \eta vezes menor.

Resposta

P_{\text{máx}} \approx 75{,}52\\ \mathrm{MW}á\nO potência real é menor porque há perdas (eficiências hidráulica, mecânica e elétrica, atrito, vazamentos, cavitação etc.), logo P_{\text{real}}=\eta\,P_{\text{máx}}á com \eta<1.

Exercícios relacionados