A água escoa a 10^{\circ} \mathrm{C} em u tubo com diâmetro \mathrm{D}=19 \mathrm{~mm}. Calcule o tempo mínimo para encher um copo de 359 ml de água se o escoamento for laminar. Refaça os cálculos para as temperaturas de; \left(10^{\circ} \mathrm{C}, \mu=1,307 \times 10^{-3} \mathrm{~N} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=999,7 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}\right) ;\left(60^{\circ} \mathrm{C}, \mu=4,665 \times 10^{-4}\right. \mathrm{N} / \mathrm{m} . \mathrm{s} ; \rho=983,2 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ).

Passo 1

O enunciado pede o tempo mínimo para encher um copo de volume V=359 mL de água que escoa em um tubo de diâmetro D=19 mm, supondo escoamento laminar. Vamos usar a definição do número de Reynolds para escoamento internamente laminar e relacioná-lo à vazão volumétrica e ao tempo de enchimento.

Passo 2

Para um escoamento laminar internamente em tubo cilíndrico, o número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,U_{\mathrm{m}}\,D}{\mu},
onde \rho é a densidade, \mu a viscosidade dinâmica e U_{\mathrm{m}} a velocidade média. Admitindo o valor crítico \mathrm{Re}_{\mathrm{cr}}=2300 (limite acima do qual o escoamento passa a ser turbulento), a velocidade média máxima para ainda manter o escoamento laminar é
U_{\mathrm{m,max}} =\frac{\mathrm{Re}_{\mathrm{cr}}\;\mu}{\rho\,D}.
A vazão volumétrica máxima é
Q_{\max}=U_{\mathrm{m,max}}\;A \quad\text{com}\quad A=\frac{\pi\,D^{2}}{4},
e daí o tempo mínimo para encher o copo é
t=\frac{V}{Q_{\max}}.

Passo 3

Cálculo para 10^{\circ}\mathrm{C} ( \mu=1{,}307\times10^{-3} N\cdot s/ m^{2}, \rho=999{,}7 kg/ m^{3}):
U_{\mathrm{m,max}} =\frac{2300\;\times1{,}307\times10^{-3}}{999{,}7\times0{,}019} \approx0{,}158\;\mathrm{m/s}.
Área da seção:
A=\frac{\pi\,(0{,}019)^{2}}{4}\approx2{,}84\times10^{-4}\;\mathrm{m^{2}}.
Logo,
Q_{\max}=0{,}158\;\times2{,}84\times10^{-4} \approx4{,}49\times10^{-5}\;\mathrm{m^{3}/s}.
Convertendo V=359 mL =3{,}59\times10^{-4} m^{3}, o tempo fica
t =\frac{3{,}59\times10^{-4}}{4{,}49\times10^{-5}} \approx8{,}0\;\mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo para 60^{\circ}\mathrm{C} ( \mu=4{,}665\times10^{-4} N\cdot s/ m^{2}, \rho=983{,}2 kg/ m^{3}):
U_{\mathrm{m,max}} =\frac{2300\;\times4{,}665\times10^{-4}}{983{,}2\times0{,}019} \approx0{,}0574\;\mathrm{m/s}.
Mantendo a mesma área A\approx2{,}84\times10^{-4} m^{2},
Q_{\max}=0{,}0574\;\times2{,}84\times10^{-4} \approx1{,}63\times10^{-5}\;\mathrm{m^{3}/s},
e o tempo de enchimento
t =\frac{3{,}59\times10^{-4}}{1{,}63\times10^{-5}} \approx22{,}0\;\mathrm{s}.

Resposta

10\circC: t\approx8{,}0 s
60\circC: t\approx22{,}0 s

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