Água escoa em um bocal, em regime permanente. Na entrada do bocal, a pressão vale 400 kPa , a área vale 0,025 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{e} a vazão mássica vale 60 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e na saída, a área vale 0,005 \mathrm{~m}^{2}. Considere que a água é um fluido incompressível, que o processo ocorre à temperatura constante e que a densidade da água vale 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Despreze o efeito da energia potencial.
Determine:
a) a vazão volumétrica da água, em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s};
b) a velocidade da água na entrada do bocal, em m/s;
c) a velocidade da água na saída do bocal, em m/s;
d) a pressão na saída, em kPa.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
a) a vazão volumétrica;
b) a velocidade na entrada do bocal;
c) a velocidade na saída do bocal;
d) a pressão na saída do bocal.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\dot m = 60\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s} (vazão mássica),
A_1 = 0,025\\ \mathrm{m}^2 (área na entrada),
A_2 = 0,005\\ \mathrm{m}^2 (área na saída),
p_1 = 400\\ \mathrm{kPa} (pressão na entrada),
\rho = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (densidade da água).
Desprezamos energia potencial e consideramos escoamento incompressível e permanente.

Passo 2

Vamos achar a vazão volumétrica usando a relação entre vazão mássica, densidade e vazão volumétrica. A fórmula é
\dot m = \rho Q,
onde \dot m é a vazão mássica (em \mathrm{kg}/\mathrm{s}), \rho é a densidade (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) e Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}). Isso vem da definição de massa por volume: massa por segundo = (massa por volume) × (volume por segundo).
Isolando Q:
Q=\frac{\dot m}{\rho}.
Substituindo os valores:
Q=\frac{60}{1000} = 0,06\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(Pronto a letra (a) feita: Q=0,06\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.)

Passo 3

Agora usamos a equação da continuidade para ligar vazão volumétrica Q, área A e velocidade média v. A fórmula é
Q = A\,v,
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média do fluido nessa seção. Essa relação significa: volume por segundo que passa = área × velocidade média.
Reorganizando para velocidade:
v=\frac{Q}{A}.

Passo 4

Velocidade na entrada ( v_1). Aplicamos v_1 = Q/A_1. Substituindo:
v_1=\frac{0,06}{0,025}.
Calcule passo a passo: 0,06/0,025 = 2,4. Portanto
v_1 = 2,4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Expliquei como dividir: 0,06 é igual a 60\times10^{-3} e 0,025 é 25\times10^{-3}, então 0,06/0,025 = 60/25 = 2,4.

Passo 5

Velocidade na saída ( v_2). Mesma fórmula, usando A_2:
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,06}{0,005}.
Calcule: 0,06/0,005 = 12. Logo
v_2 = 12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Observação física rápida: como a saída tem área menor, a velocidade aumenta — nada de estranho.

Passo 6

Para encontrar a pressão na saída usamos a equação de Bernoulli para um escoamento incompressível, sem troca de calor nem trabalho de máquinas e desprezando altura:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Aqui p é a pressão estática (em Pa), \rho é densidade (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) e v é a velocidade (em \mathrm{m}/\mathrm{s}). Reorganizando para p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\,(v_1^2 - v_2^2).

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro converter p_1 para Pa:
p_1 = 400\\ \mathrm{kPa} = 400\,000\\ \mathrm{Pa}.
Calculamos os quadrados das velocidades:
v_1^2 = 2,4^2 = 5,76,\qquad v_2^2 = 12^2 = 144.
A diferença é v_1^2 - v_2^2 = 5,76 - 144 = -138,24.
O termo dinâmico vale:
\tfrac{1}{2}\rho\,(v_1^2 - v_2^2) = 0,5\cdot1000\cdot(-138,24) = -69\,120\\ \mathrm{Pa}.
Então a pressão de saída é
p_2 = 400\,000 - 69\,120 = 330\,880\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_2 = 330,88\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Interpretação e encorajamento: a pressão caiu porque a energia de pressão foi parcialmente convertida em energia cinética (a velocidade aumentou na saída). Ótimo — fizemos tudo passo a passo e com números fáceis de calcular sem calculadora (multiplicações e quadrados simples). Bora revisar mentalmente: massa → vazão volumétrica → velocidades pela continuidade → Bernoulli para a pressão.

Resposta

a) 0,06\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
b) 2,4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
c) 12\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
d) 330,88\\ \mathrm{kPa}

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