Em um difusor adiabático, há um escoamento de água, em regime permanente e entrando a 150 kPa e com velocidade de 25 \mathrm{~m} / \\mathrm{s}. O diâmetro na entrada vale 40 mm e o diâmetro na saída vale 100 mm . O escoamento de água ocorre à temperatura constante de 30^{\circ} \mathrm{C}, com densidade de 996 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Despreze o efeito da energia potencial e a água é um fluido incompressível.
Determine:
a) a vazão volumétrica da água, em \mathrm{L} / \mathrm{s};
b) a vazão mássica da água, em kg/s;
c) a velocidade da água na saída, em m/s;
d) a pressão na saída, em kPa.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento de água em regime permanente entrando em um difusor com as seguintes informações:
  • Pressão de entrada: p_1 = 150\\ \mathrm{kPa}.
  • Velocidade na entrada: v_1 = 25\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetro na entrada: d_1 = 40\\ \mathrm{mm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro na saída: d_2 = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura constante 30^\circ\mathrm{C} (serve para justificar a densidade constante).
  • Densidade da água: \rho = 996\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Desprezar energia potencial e considerar água incompressível (portanto vazão volumétrica constante).
    As perguntas que devemos responder:
    a) a vazão volumétrica (\mathrm{L/s});
    b) a vazão mássica (\mathrm{kg/s});
    c) a velocidade na saída (\mathrm{m/s});
    d) a pressão na saída (\mathrm{kPa}).

Passo 2

Vamos calcular a área da seção transversal na entrada usando a fórmula da área de um círculo.
A fórmula é
A = \frac{\pi d^2}{4},
onde A é a área e d é o diâmetro. Aplicando em d_1:
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}04)^2}{4} = \pi \cdot 0{,}0004 = 0{,}001256637\\ \mathrm{m^2}\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Para fluido incompressível em regime permanente a vazão volumétrica é a mesma em qualquer seção (equação de continuidade):
\dot{V} = A_1 v_1.
Aqui \dot{V} é a vazão volumétrica (m^3/s), A_1 a área da entrada e v_1 a velocidade na entrada. Substituindo:
\dot{V} = 0{,}001256637\cdot 25 = 0{,}031415925\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo (1 m^3/s = 1000 L/s):
\dot{V} = 31{,}415925\\ \mathrm{L/s}\\ (\text{aprox. }31{,}416\\ \mathrm{L/s}).

Passo 4

A vazão mássica \dot{m} relaciona-se com a vazão volumétrica por
\dot{m} = \rho \dot{V},
onde \rho é a densidade. Substituindo:
\dot{m} = 996 \cdot 0{,}031415925 = 31{,}290261\\ \mathrm{kg/s}\\ (\text{aprox. }31{,}29\\ \mathrm{kg/s}).

Passo 5

Calculemos a área da saída A_2 com a mesma fórmula:
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (0{,}10)^2}{4} = \pi \cdot 0{,}0025 = 0{,}007853982\\ \mathrm{m^2}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

A velocidade na saída v_2 vem da continuidade: \dot{V} = A_2 v_2, então
v_2 = \frac{\dot{V}}{A_2}.
Substituindo números:
v_2 = \frac{0{,}031415925}{0{,}007853982} = 4{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Observação prática: como v_2 = v_1\,(A_1/A_2) e A\propto d^2, também pode-se ver v_2 = v_1\,(d_1/d_2)^2 = 25\cdot(0{,}04/0{,}10)^2 = 25\cdot 0{,}16 = 4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Para determinar a pressão na saída usamos a forma simplificada de Bernoulli entre as seções 1 e 2 (escoamento estacionário, incompressível, sem trabalho de eixo, sem variação de altura e sem perdas):
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Aqui p é a pressão e v a velocidade. Isolando p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right).
Substituindo os valores (usar unidades SI, pressão em Pa):
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2-v_2^2\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 996\cdot(25^2-4^2) =\tfrac{1}{2}\cdot 996\cdot(625-16) =498\cdot 609=303282\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p_2 = 150000\\ \mathrm{Pa} + 303282\\ \mathrm{Pa} = 453282\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_2 = 453{,}282\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{aprox. }453{,}3\\ \mathrm{kPa}).

Resposta

a) 31{,}416\\ \mathrm{L/s}
b) 31{,}29\\ \mathrm{kg/s}
c) 4{,}0\\ \mathrm{m/s}
d) 453{,}3\\ \mathrm{kPa}

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