Em um bocal adiabático, há um escoamento de água, em regime permanente, sendo a temperatura uniforme em todo o processo no valor de 20^{\circ} \mathrm{C}, em que a densidade da água vale 998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Na entrada, a pressão vale 280 kPa e o diâmetro vale 150 mm e na saída, o diâmetro vale 75 mm . A vazão volumétrica da água é de 18 \mathrm{L} / \mathrm{s}, sendo que o fluido é considerado incompressível. Despreze o efeito da energia potencial.
Determine:
a) a velocidade média na entrada, em \mathrm{m} / \mathrm{s};
b) a velocidade média na saída, em \mathrm{m} / \mathrm{s};
c) a vazão mássica da água, em kg/s;
d) a pressão na saída, em kPa.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou listar tudo que é útil para resolver sem começar a calcular ainda):
  • Escoamento num bocal adiabático, em regime permanente, com temperatura uniforme de 20^\circ\mathrm{C}.
  • Densidade da água: \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pressão na entrada: p_{1}=280\\ \mathrm{kPa}.
  • Diâmetro da entrada: D_{1}=150\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da saída: D_{2}=75\\ \mathrm{mm}.
  • Vazão volumétrica: Q=18\\ \mathrm{L/s}.
  • Fluido incompressível; despreze energia potencial.
  • Pedidos:
    a) velocidade média na entrada ( \mathrm{m/s});
    b) velocidade média na saída ( \mathrm{m/s});
    c) vazão mássica ( \mathrm{kg/s});
    d) pressão na saída ( \mathrm{kPa}).

Passo 2

Converter unidades e escrever fórmulas básicas que vamos usar (sem resolver ainda).
  • Conversão da vazão volumétrica para o SI:
Q = 18\\ \mathrm{L/s} = 18\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0{,}018\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Converter diâmetros para metros:
D_{1}=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m},\qquad D_{2}=75\\ \mathrm{mm}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • Área de seção circular (cada seção): A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde A é a área ( \mathrm{m^{2}}) e D é o diâmetro ( \mathrm{m}).
  • Relação continuidade para fluido incompressível (vazão volumétrica constante): Q = A\,v,
onde v é a velocidade média ( \mathrm{m/s}) na seção considerada.
  • Equação de Bernoulli (admite-se escoamento ideal sem perdas, adiabático, regime permanente e sem variação de energia potencial): \frac{p_{1}}{\rho}+\frac{v_{1}^{2}}{2}=\frac{p_{2}}{\rho}+\frac{v_{2}^{2}}{2}.
Dessa equação isolamos p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right).

Passo 3

Calcular as áreas das seções de entrada e saída usando \;A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}.
  • Área da entrada:
A_{1}=\frac{\pi D_{1}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}150)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}005625=0{,}0176714587\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área da saída:
A_{2}=\frac{\pi D_{2}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}075)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}00140625=0{,}0044178647\\ \mathrm{m^{2}}.
Observação curta e útil: como D_{2}=\tfrac{1}{2}D_{1}, temos A_{2}=(\tfrac{1}{2})^{2}A_{1}=\tfrac{1}{4}A_{1}; isso simplifica cálculos posteriores.

Passo 4

Calcular a velocidade média na entrada usando v_{1}=Q/A_{1}. Explico o porquê: a equação de continuidade diz que a mesma vazão volumétrica atravessa qualquer seção do tubo; portanto a velocidade média é vazão dividida pela área.
  • Aplicando:
v_{1}=\frac{Q}{A_{1}}=\frac{0{,}018}{0{,}0176714587}=1{,}0180339887\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação e dica prática: na prova, calcule a área primeiro e depois divida Q por A; use casas decimais compatíveis com a precisão pedida.

Passo 5

Calcular a velocidade média na saída. Podemos usar diretamente v_{2}=Q/A_{2} ou usar a relação A_{2}=\tfrac{1}{4}A_{1} que implica v_{2}=4v_{1}. Vou mostrar as duas formas e usar a mais rápida.
  • Usando v_{2}=4v_{1}:
v_{2}=4\cdot 1{,}0180339887=4{,}0721359548\\ \mathrm{m/s}.
  • Conferência via v_{2}=Q/A_{2}:
v_{2}=\frac{0{,}018}{0{,}0044178647}=4{,}0721359548\\ \mathrm{m/s},
mesmo resultado (boa prática: sempre confirme se possível).

Passo 6

Calcular a vazão mássica da água usando \dot{m}=\rho\,Q. Explico a fórmula: a vazão mássica é a massa que passa por uma seção por unidade de tempo; para fluido incompressível a massa por volume é \rho, então \dot{m}=\rho\times (vazão volumétrica).
  • Aplicando:
\dot{m}=\rho Q=998\cdot 0{,}018=17{,}964\\ \mathrm{kg/s}.
Dica: em prova, se o enunciado der \rho e Q, essa conta é direta — nada de áreas aqui.

Passo 7

Calcular a pressão na saída usando a equação de Bernoulli isolada para p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right).
Vou calcular passo a passo os quadrados das velocidades e o termo de correção.
  • Primeiro, v_{1}^{2}=(1{,}0180339887)^{2}=1{,}0363932080\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Como v_{2}=4v_{1}, então v_{2}^{2}=16v_{1}^{2}=16\cdot 1{,}0363932080=16{,}582291328\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Diferença:
v_{1}^{2}-v_{2}^{2}=1{,}0363932080-16{,}582291328=-15{,}54589812\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Agora o termo dinâmico:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 998\cdot(-15{,}54589812)=499\cdot(-15{,}54589812)=-7\,758{,}204\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente, p_{2}:
p_{2}=p_{1}+(-7\,758{,}204\\ \mathrm{Pa})=280{,}000\\ \mathrm{Pa}-7\,758{,}204\\ \mathrm{Pa}=272{,}241{,}796\\ \mathrm{Pa}.
Converter para kPa (dividindo por 1000):
p_{2}=272{,}241796\\ \mathrm{kPa}\approx 272{,}24\\ \mathrm{kPa}.
Comentário interpretativo: como a velocidade aumenta na saída, a pressão cai — é justamente isso que o termo \tfrac{1}{2}\rho(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}) mostra (resultado negativo).

Resposta

a) 1{,}02\\ \mathrm{m/s}
b) 4{,}07\\ \mathrm{m/s}
c) 17{,}96\\ \mathrm{kg/s}
d) 272{,}24\\ \mathrm{kPa}

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