Um compressor a ar opera em regime permanente, em que admite o ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa (pressão atmosférica). Na saída do compressor, a pressão absoluta é de 400 kPa , a temperatura é de 194^{\circ} \mathrm{C}. A perda de calor específica no compressor é de 7,5 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} e a vazão mássica vale 0,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considere que o ar é um gás ideal, cujo mol vale 28,97 \mathrm{~kg} / \mathrm{kmol}. Despreze a variação de energia cinética e potencial.
Determine:
a) a densidade do ar na entrada, \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3};
b) a densidade do ar na saída, em \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3};
c) a vazão volumétrica na entrada, em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s};
d) a vazão volumétrica na saída, em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s};
e) a taxa de transferência de calor, em kW;
f) a potência do compressor, em kW.

Passo 1

O enunciado pede várias grandezas do escoamento através de um compressor em regime permanente. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados (retirados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Temperatura de entrada: } T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão absoluta de entrada: } p_1 = 100\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{Temperatura de saída: } T_2 = 194^\circ\mathrm{C} = 467{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Pressão absoluta de saída: } p_2 = 400\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{Perda de calor específica (heat loss) do compressor: } q = 7{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}\\ (\text{isto é, calor rejeitado por kg}),\\\ &\text{Vazão mássica: } \dot{m} = 0{,}8\\ \mathrm{kg/s},\\\ &\text{Massa molar do ar: } M = 28{,}97\\ \mathrm{kg/kmol}. \end{aligned}ãíãííéãá
O que é solicitado:
a) densidade do ar na entrada \rho_1 (kg/m^3);
b) densidade do ar na saída \rho_2 (kg/m^3);
c) vazão volumétrica na entrada \dot{V}_1 (m^3/s);
d) vazão volumétrica na saída \dot{V}_2 (m^3/s);
e) taxa de transferência de calor \dot{Q} (kW);
f) potência do compressor \dot{W} (kW).
Observação para interpretação: o enunciado diz “perda de calor específica … 7,5 kJ/kg”, ou seja, por cada quilograma de ar o compressor perde 7{,}5\\ \mathrm{kJ} para o meio — portanto esse calor é rejeitado (fluxo de calor para o ambiente). Na convenção que vou usar, o sinal de \dot{Q} é positivo quando o calor é fornecido ao ar; aqui será negativo (calor saindo).

Passo 2

Calcular a constante específica do gás R a partir da constante universal dos gases. Explico a fórmula:
A constante universal dos gases ideais é \,R_u = 8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}. A constante específica do gás (por unidade de massa) é
R = \frac{R_u}{M},
onde M é a massa molar do gás em \mathrm{kg/kmol}. As unidades resultam em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, e lembrando que 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3} isso funciona bem com pressões em kPa.
Aplicando:
R = \frac{8{,}314}{28{,}97} \approx 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Interpretação: R é a constante dos gases por kg de ar; numericamente R\approx 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ou 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).

Passo 3

Usar a equação dos gases ideais para obter as densidades. A equação dos gases ideais na forma conveniente é
p = \rho R T,
onde p é a pressão absoluta (em kPa), \rho é a densidade (kg/m^3), R é a constante específica (kJ/kg·K) e T é a temperatura absoluta (K). Reorganizando:
\rho=\frac{p}{R\,T}.
Cálculo da densidade na entrada:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1}=\frac{100}{0{,}287\cdot 293{,}15}.
Faço a conta passo a passo: R\,T_1 = 0{,}287\cdot 293{,}15 \approx 84{,}13. Assim
\rho_1 \approx \frac{100}{84{,}13}\approx 1{,}19\\ \mathrm{kg/m^3}.
Cálculo da densidade na saída:
\rho_2=\frac{p_2}{R\,T_2}=\frac{400}{0{,}287\cdot 467{,}15}.
Calculo: R\,T_2 = 0{,}287\cdot 467{,}15 \approx 134{,}07. Assim
\rho_2 \approx \frac{400}{134{,}07}\approx 2{,}98\\ \mathrm{kg/m^3}.
Explicação breve: aumentar a pressão tende a aumentar a densidade; aumentar a temperatura tende a diminuir a densidade. Aqui a pressão quadruplicou e a temperatura cresceu, mas o efeito da pressão domina e a densidade aumenta.

Passo 4

Com as densidades, obter as vazões volumétricas usando a relação básica entre vazão mássica e volumétrica:
\dot{m}=\rho\,\dot{V}\quad\Rightarrow\quad \dot{V}=\frac{\dot{m}}{\rho}.
Vazão volumétrica na entrada:
\dot{V}_1=\frac{0{,}8}{1{,}19}\approx 0{,}674\\ \mathrm{m^3/s}.
Vazão volumétrica na saída:
\dot{V}_2=\frac{0{,}8}{2{,}98}\approx 0{,}268\\ \mathrm{m^3/s}.
Comentário: o volume específico diminui porque a densidade aumentou; por isso a vazão volumétrica de saída é menor.

Passo 5

Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q}. O enunciado deu “perda de calor específica” q=7{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}, isto é, por kg de ar o compressor rejeita 7{,}5\\ \mathrm{kJ} ao meio. A taxa de calor (potência térmica) é
\dot{Q}=\dot{m}\,q.
Como q é calor rejeitado pelo ar, na convenção que adotamos calor fornecido ao ar é positivo, aqui q=-7{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}. Portanto
\dot{Q}=0{,}8\cdot(-7{,}5)=-6{,}0\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: o compressor está rejeitando 6{,}0\\ \mathrm{kW} para o ambiente (ou seja, há uma perda de calor de 6{,}0\\ \mathrm{kW}).

Passo 6

Calcular a potência do compressor usando a primeira lei para regime permanente em um sistema de escoamento (equação de energia para escoamento estacionário). Desprezando variações de energia cinética e potencial, a equação reduz-se a:
\dot{m}\,(h_2-h_1)=\dot{W}_{\text{in}}+\dot{Q},
onde \dot{W}_{\text{in}} é a potência fornecida ao fluido pelo eixo do compressor (positiva quando fornecida ao fluido). Queremos \dot{W}_{\text{in}}, então
\dot{W}_{\text{in}}=\dot{m}\,(h_2-h_1)-\dot{Q}.
Para ar ideal a variação de entalpia pode ser escrita como
h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1),
onde c_p é o calor específico a pressão constante (kJ/kg·K). Vou obter c_p a partir de R assumindo ar com razão de calores específicos \gamma=1{,}4 (valor padrão para ar seco a temperaturas moderadas). A relação é
c_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}.
Aplicando:
c_p=\frac{1{,}4\cdot 0{,}287}{1{,}4-1}=\frac{0{,}4018}{0{,}4}\approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Explicação: esse valor de c_p é o clássico \approx 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} para o ar.
Agora a variação de entalpia específica:
h_2-h_1 = c_p\,(T_2-T_1)=1{,}005\cdot(467{,}15-293{,}15)=1{,}005\cdot 174{,}00\approx 174{,}87\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{m}(h_2-h_1)=0{,}8\cdot 174{,}87\approx 139{,}90\\ \mathrm{kW}.
Finalmente a potência do compressor (potência fornecida ao fluido pelo eixo):
\dot{W}_{\text{in}}=139{,}90-(-6{,}0)=139{,}90+6{,}0\approx 145{,}90\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: como o compressor perde calor para o ambiente, é necessário fornecer um pouco mais de potência pelo eixo para alcançar a variação de entalpia observada; por isso somamos os 6 kW de calor rejeitado.

Passo 7

Arredondamentos finais e interpretação final das respostas (valores com número de algarismos significativos apropriado):
  • \rho_1 \approx 1{,}19\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade na entrada).
  • \rho_2 \approx 2{,}98\\ \mathrm{kg/m^3} (densidade na saída).
  • \dot{V}_1 \approx 0{,}674\\ \mathrm{m^3/s} (vazão volumétrica na entrada).
  • \dot{V}_2 \approx 0{,}268\\ \mathrm{m^3/s} (vazão volumétrica na saída).
  • \dot{Q} = -6{,}0\\ \mathrm{kW} (taxa de transferência de calor; negativa indica calor rejeitado para o ambiente).
  • \dot{W}_{\text{in}} \approx 145{,}9\\ \mathrm{kW} (potência fornecida ao compressor pelo eixo).
Se preferir arredondar a potência para um número inteiro, dá \dot{W}_{\text{in}}\approx 146\\ \mathrm{kW}. Bom trabalho — você já tem as fórmulas essenciais: equação dos gases ideais para densidade, relação \dot{m}=\rho\dot{V} para vazões, e a energia de escoamento para potência; com essas dá pra resolver um monte de questões semelhantes!

Resposta

\rho_1 = 1{,}19\\ \mathrm{kg/m^3}
\rho_2 = 2{,}98\\ \mathrm{kg/m^3}
\dot{V}_1 = 0{,}674\\ \mathrm{m^3/s}
\dot{V}_2 = 0{,}268\\ \mathrm{m^3/s}
\dot{Q} = -6{,}0\\ \mathrm{kW}
\dot{W}_{\text{in}} = 145{,}9\\ \mathrm{kW}

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