Água escoa para dentro de um volume que contém uma esponja com vazão de 0,02 \mathrm{m} 3 / \mathrm{s}. Ela sai do vo- lume através de dois tubos, um com 2 cm de diâmetro e o outro com uma vazão mássica de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Se a velocidade de saída no tubo de 2 cm de diâmetro é de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a taxa de variação da massa dentro do volume.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a taxa de variação da massa dentro do volume:
  • Vazão volumétrica de entrada: \,Q_{\text{in}}=0,02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Um tubo de saída tem diâmetro \,d=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m} e velocidade de saída \,v=15\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • O outro tubo de saída tem vazão mássica conhecida: \,\dot{m}_2=10\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Observação necessária para resolver: vou assumir água incompressível com densidade constante \,\rho=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (valor usual à temperatura ambiente). A pergunta é: calcular \,\dfrac{dm}{dt}, a taxa de variação da massa dentro do volume.

Passo 2

Princípio que vamos usar (conservação de massa): a taxa de variação da massa dentro do volume é a diferença entre a vazão mássica total que entra e a vazão mássica total que sai. Em fórmula:
\frac{dm}{dt}=\dot{m}_{\text{in}}-\dot{m}_{\text{out, total}}.
Aqui \,m é a massa dentro do volume, \dfrac{dm}{dt} é sua taxa de variação (kg/s), \dot{m} representa vazão mássica (kg/s).

Passo 3

Como temos vazões volumétricas ( Q) e a densidade \rho, convertemos para vazão mássica com a relação
\dot{m}=\rho\,Q,
onde \dot{m} é a vazão mássica (kg/s), \rho é a densidade (kg/m^3) e Q é a vazão volumétrica (m^3/s). Vou usar isso para o fluxo de entrada e para o tubo de 2 cm.

Passo 4

Cálculo da área da seção do tubo de diâmetro d. A área circular é
A=\frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d=0,02\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0,02)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0,0004}{4}=\pi\cdot 0,0001=0,0001\pi\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica no tubo de 2 cm usando Q=A v:
Q_1=A v = 0,0001\pi \cdot 15 = 0,0015\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Valor numérico aproximado (usando \pi\approx 3,14159265):
Q_1\approx 0,0015\cdot 3,14159265 \approx 0,00471239\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Converter Q_1 em vazão mássica \dot{m}_1 usando \dot{m}=\rho Q:
\dot{m}_1=\rho Q_1=1000\cdot 0,00471239\approx 4,71239\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 7

Vazão mássica de entrada \dot{m}_{\text{in}} a partir de Q_{\text{in}}:
\dot{m}_{\text{in}}=\rho Q_{\text{in}}=1000\cdot 0,02=20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 8

Vazões mássicas de saída: já temos \dot{m}_1 do tubo de 2 cm e a vazão mássica do outro tubo é dada \dot{m}_2=10\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}. A vazão mássica total de saída é
\dot{m}_{\text{out, total}}=\dot{m}_1+\dot{m}_2\approx 4,71239+10=14,71239\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Passo 9

Agora aplicamos a conservação de massa:
\frac{dm}{dt}=\dot{m}_{\text{in}}-\dot{m}_{\text{out, total}}=20-14,71239\approx 5,28761\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Interpretação: \dfrac{dm}{dt}>0 significa que a massa dentro do volume está aumentando; ou seja, a esponja/volume está acumulando água a uma taxa de aproximadamente 5,29\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.

Resposta

\dfrac{dm}{dt}=5,288\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}

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