Uma estação pluviométrica X deixou de operar durante alguns dias de um mês, quando houve uma grande chuva. As alturas pluviométricas nesse mês em três estações vizinhas, A, B e C, foram 106, 7 ; 88,9 e 121,9 \mathrm{~mm}, respectivamente. Sabendo-se que as alturas pluviométricas normais anuais nas estações \mathrm{X}, \mathrm{A}, \mathrm{B} e C são 977, 9 ; 1.120,1 ; 934,7 e 1.198,9 \mathrm{~mm}, respectivamente, estimar a altura pluviométrica mensal na estação X.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a altura pluviométrica mensal na estação X (que ficou sem registro naquele mês). As informações fornecidas são:
  • Alturas pluviométricas observadas naquele mês nas estações vizinhas: A: 106,7\\ \mathrm{~mm},\quad B: 88,9\\ \mathrm{~mm},\quad C: 121,9\\ \mathrm{~mm}.
  • Alturas pluviométricas normais anuais (normais climatológicas) nas estações: N_X = 977,9\\ \mathrm{~mm},\quad N_A = 1.120,1\\ \mathrm{~mm},\quad N_B = 934,7\\ \mathrm{~mm},\quad N_C = 1.198,9\\ \mathrm{~mm}.
O que se pede: estimar a chuva mensal em X naquele mês (ou seja, obter um valor em mm para a estação X).

Passo 2

Método escolhido e porquê (explicação didática): vou usar o método das razões das normais (normal-ratio method). Esse método ajusta a chuva observada em cada estação vizinha pela razão entre a normal anual de X e a normal anual da estação vizinha, e depois faz a média desses ajustes. A ideia física é: se a estação vizinha costuma ter, em média, mais chuva do que X (segundo as normais anuais), então a chuva observada nessa vizinha deve ser reduzida proporcionalmente ao passar para X; se costuma ter menos, então aumentamos proporcionalmente.
A fórmula do método é:
\hat{P}_X=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\frac{N_X}{N_i}\;P_i,
onde:
  • \hat{P}_X é a estimativa da chuva em X no mês faltante;
  • k é o número de estações vizinhas usadas (aqui k=3);
  • N_X é a normal anual em X;
  • N_i é a normal anual da estação vizinha i;
  • P_i é a chuva observada no mês na estação i.
Vou aplicar essa fórmula com i\in\{A,B,C\}. Expliquei o que cada símbolo significa para você poder repetir o método na prova.

Passo 3

Cálculo do termo ajustado usando a estação A.
Calculo a razão das normais:
\frac{N_X}{N_A}=\frac{977,9}{1.120,1}\approx 0,8730.
Explicando a conta: dividi 977,9 por 1.120,1; o resultado aproximado a quatro casas decimais é 0,8730.
Multiplico pela chuva observada em A:
\frac{N_X}{N_A}\,P_A \approx 0,8730\times 106,7 = 93,1491\\ \mathrm{~mm}.
Mostrei o produto para que você veja a ordem: primeiro a razão, depois multiplicar pela chuva observada.

Passo 4

Cálculo do termo ajustado usando a estação B.
Calculo a razão das normais:
\frac{N_X}{N_B}=\frac{977,9}{934,7}\approx 1,0462.
Explicando: aqui a razão é maior que 1 porque N_X é maior que N_B, então esperamos aumentar a chuva observada em B ao transpor para X.
Multiplico pela chuva observada em B:
\frac{N_X}{N_B}\,P_B \approx 1,0462\times 88,9 = 93,0107\\ \mathrm{~mm}.

Passo 5

Cálculo do termo ajustado usando a estação C.
Calculo a razão das normais:
\frac{N_X}{N_C}=\frac{977,9}{1.198,9}\approx 0,8157.
Aqui a razão é menor que 1 porque N_C é maior que N_X.
Multiplico pela chuva observada em C:
\frac{N_X}{N_C}\,P_C \approx 0,8157\times 121,9 = 99,4338\\ \mathrm{~mm}.

Passo 6

Agora faço a média aritmética dos três valores ajustados (pois não temos distâncias ou pesos adicionais, usamos média simples conforme o método):
Somando os três ajustados:
93,1491 + 93,0107 + 99,4338 = 285,5936\\ \mathrm{~mm}.
Dividindo por k=3:
\hat{P}_X = \frac{285,5936}{3} = 95,1979\\ \mathrm{~mm}.
Arredondando para uma casa decimal (consistência com os dados fornecidos), obtenho:
\hat{P}_X \approx 95,2\\ \mathrm{~mm}.

Resposta

95,2\\ \mathrm{~mm}

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