Água escoa em regime permanente de um grande reservatório aberto para a atmosfera através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal de 6 cm^2. Um aquecedor, bem isolado termicamente, envolve o tubo. Determine: se a altura do nível da água for de 10 m , qual deverá ser a potência do aquecedor necessária para aumentar a temperatura da água em 10^circ C. Dados da água Cv=4,18 J / g^circ C e rho=1000 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos olhar o que a questão está pedindo. Temos água saindo de um grande reservatório aberto para a atmosfera através de um tubo curto e de um bocal com área de seção transversal de 6 , cm^2. Um aquecedor está envolvido no tubo para aquecer a água. Queremos descobrir qual a potência desse aquecedor necessária para aumentar a temperatura da água em 10^circ C quando a altura do nível da água é de 10 , m.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Torricelli para velocidade do escoamento, cálculo da taxa de fluxo de massa e, por fim, a relação entre energia fornecida e aumento de temperatura usando a capacidade calorífica específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade com que a água sai do bocal. Para isso, usamos a Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade v do fluido saindo por um orifício sob a influência da gravidade é dada por:
v = raiz2gh
onde:
  • g = 9,81 , m/s^2 é a aceleração da gravidade,
  • h = 10 , m é a altura do nível da água.
Vamos substituir os valores:
v = raiz2 times 9,81 times 10 = raiz196,2 approx 14 , m/s

Passo 3

Agora que temos a velocidade da água, vamos calcular a taxa de fluxo de massa ( dotm), que é a quantidade de massa de água que passa pelo bocal por segundo. A fórmula para isso é:
dotm = rho times A times v
onde:
  • rho = 1000 , kg/m^3 é a densidade da água,
  • A = 6 , cm^2 = 6 times 10^-4 , m^2 é a área do bocal,
  • v approx 14 , m/s é a velocidade que calculamos.
Substituindo os valores:
dotm = 1000 times 6 times 10^-4 times 14 = 8,4 , kg/s

Passo 4

Agora, vamos determinar a potência necessária para aquecer essa água. A potência térmica ( P) requerida para aumentar a temperatura da água pode ser calculada pela fórmula:
P = dotm times Cv times De
onde:
  • dotm = 8,4 , kg/s é a taxa de fluxo de massa,
  • Cv = 4,18 , J/g^circC = 4180 , J/kg^circC é a capacidade calorífica específica da água,
  • De é o aumento de temperatura desejado.
Substituindo os valores:
P = 8,4 times 4180 times 10 = 351.120 , W

Resposta

A potência do aquecedor necessária para aumentar a temperatura da água em 10^circ C é de aproximadamente 351.120 Watts.

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