A água escoa em regime permanente por um tubo horizontal que se estreita em determinado trecho. No ponto 1, o diâmetro interno do tubo é de 6 cm , e a pressão manométrica é de 220 kPa . No ponto 2, o diâmetro é de 3 cm .
Sabendo que a velocidade no ponto 1 é de
, determine:
a) A velocidade da água no ponto 2 ;
b) A pressão manométrica no ponto 2 .
Considere o escoamento incompressível, sem perdas de carga, e a massa específica da água
.
R: V2 =
P2
Sabendo que a velocidade no ponto 1 é de
a) A velocidade da água no ponto 2 ;
b) A pressão manométrica no ponto 2 .
P2
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (retirados do enunciado):
escoamento incompressível, regime permanente, tubo horizontal e sem perdas de carga.
Perguntas:
a) Determinar (velocidade no ponto 2).
b) Determinar (pressão manométrica no ponto 2).
a) Determinar
b) Determinar
Passo 2
Conservação da massa (continuidade) para escoamento incompressível e estacionário: a vazão volumétrica é constante entre 1 e 2. A fórmula é
onde
é a área da seção transversal e
é a velocidade média. Aqui:
-
é a área no ponto 1, -
é a área no ponto 2, -
e são as velocidades em 1 e 2.
Essa equação diz que se a seção diminui, a velocidade aumenta proporcionalmente para manter a mesma vazão.
Passo 3
Calcular as áreas usando
. Primeiro converto os diâmetros para metros (pois trabalharemos no SI):
Agora as áreas:
Observação: pegamos os valores de
e
da figura/dados do enunciado.
Passo 4
Usando a continuidade
, isolamos
:
Como
, obtemos
Intuição rápida: o diâmetro é reduzido à metade, então a área fica
, e a velocidade aumenta por fator 4.
Passo 5
Para relacionar pressões usamos a equação de Bernoulli para escoamento incompressível sem perdas entre 1 e 2:
Aqui:
-
é a pressão (manométrica, no enunciado), -
é a massa específica, -
é a velocidade, -
é a cotaposição vertical, -
é a aceleração da gravidade.
Como o tubo é horizontal,e os termos se cancelam, sobrando
Passo 6
Isolamos
:
Substituímos os valores (lembrando de usar unidades SI para pressão em Pa):
,
,
,
.
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Logo
Convertendo para kPa:
Passo 7
Interpretação física e conclusão: a velocidade aumentou de
para
devido à redução da área; pela conservação de energia (Bernoulli) a pressão diminuiu — isto é esperado: escoamento mais rápido corresponde a pressão estática menor no trecho estreito.