A água escoa em regime permanente por um tubo horizontal que se estreita em determinado trecho. No ponto 1, o diâmetro interno do tubo é de 6 cm , e a pressão manométrica é de 220 kPa . No ponto 2, o diâmetro é de 3 cm .
Sabendo que a velocidade no ponto 1 é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine:
a) A velocidade da água no ponto 2 ;
b) A pressão manométrica no ponto 2 .
Considere o escoamento incompressível, sem perdas de carga, e a massa específica da água \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
R: V2 = 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
P2 =152,5 \mathrm{kPa}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (retirados do enunciado):
d_1=6\\ \mathrm{cm},\qquad p_1=220\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{pressão manométrica}),\qquad d_2=3\\ \mathrm{cm},ãé
v_1=3\\ \mathrm{m/s},\qquad \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},
escoamento incompressível, regime permanente, tubo horizontal e sem perdas de carga.
Perguntas:
a) Determinar \,v_2 (velocidade no ponto 2).
b) Determinar \,p_2 (pressão manométrica no ponto 2).

Passo 2

Conservação da massa (continuidade) para escoamento incompressível e estacionário: a vazão volumétrica é constante entre 1 e 2. A fórmula é
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v é a velocidade média. Aqui:
  • A_1 é a área no ponto 1,
  • A_2 é a área no ponto 2,
  • v_1 e v_2 são as velocidades em 1 e 2.
    Essa equação diz que se a seção diminui, a velocidade aumenta proporcionalmente para manter a mesma vazão.

Passo 3

Calcular as áreas usando A=\dfrac{\pi d^2}{4}. Primeiro converto os diâmetros para metros (pois trabalharemos no SI):
d_1=6\\ \mathrm{cm}=0,06\\ \mathrm{m},\qquad d_2=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}.
Agora as áreas:
A_1=\frac{\pi d_1^2}{4}=\frac{\pi(0,06)^2}{4}=\pi\cdot 0,0009=0,0009\pi\\ \mathrm{m^2},
A_2=\frac{\pi d_2^2}{4}=\frac{\pi(0,03)^2}{4}=\pi\cdot 0,000225=0,000225\pi\\ \mathrm{m^2}.
Observação: pegamos os valores de d_1 e d_2 da figura/dados do enunciado.

Passo 4

Usando a continuidade \,A_1 v_1 = A_2 v_2, isolamos v_2:
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2}.
Como A_1/A_2 = \dfrac{0,0009\pi}{0,000225\pi}=4, obtemos
v_2 = v_1\cdot 4 = 3\cdot 4 = 12\\ \mathrm{m/s}.
Intuição rápida: o diâmetro é reduzido à metade, então a área fica \tfrac{1}{4}, e a velocidade aumenta por fator 4.

Passo 5

Para relacionar pressões usamos a equação de Bernoulli para escoamento incompressível sem perdas entre 1 e 2:
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2.
Aqui:
  • p é a pressão (manométrica, no enunciado),
  • \rho é a massa específica,
  • v é a velocidade,
  • z é a cotaposição vertical,
  • g é a aceleração da gravidade.
    Como o tubo é horizontal, z_1=z_2 e os termos \rho g z se cancelam, sobrando
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2.

Passo 6

Isolamos p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr).
Substituímos os valores (lembrando de usar unidades SI para pressão em Pa): p_1=220\\ \mathrm{kPa}=220000\\ \mathrm{Pa}, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, v_1=3\\ \mathrm{m/s}, v_2=12\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos passo a passo:
v_1^2-v_2^2 = 3^2-12^2 = 9-144 = -135,
\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2)=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(-135) = -67500\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p_2 = 220000 - 67500 = 152500\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa:
p_2 = 152{,}5\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Interpretação física e conclusão: a velocidade aumentou de \,3\\ \mathrm{m/s} para \,12\\ \mathrm{m/s} devido à redução da área; pela conservação de energia (Bernoulli) a pressão diminuiu — isto é esperado: escoamento mais rápido corresponde a pressão estática menor no trecho estreito.

Resposta

v_2 = 12\\ \mathrm{m/s}
p_2 = 152{,}5\\ \mathrm{kPa}

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