Aletas retangulares de cobre (condutividade térmica =\\ 380 \mathrm{~W} / \\.\mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) são colocadas em uma parede externa de um forno industrial. A temperatura da parede do forno é de 250^{\circ} \mathrm{C}, e a temperatura do ar externo, em contato com essa parede, é de 30^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de convecção do ar é igual a 40 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. O espaçamento entre as aletas é de 8 mm e a espessura das aletas é de 1 mm . Pede-se:
Se não houvesse aletas, qual seria a taxa de calor trocado por \mathrm{m}^{2} de área da parede?

Passo 1

O enunciado pede: “Se não houvesse aletas, qual seria a taxa de calor trocado por \mathrm{m}^2 de área da parede?”\n
Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Temperatura da parede: } T_s = 250^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura do ar externo: } T_\infty = 30^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Coeficiente de convecção do ar: } h = 40\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K},\\\ &\text{Espaçamento entre aletas: } 8\\ \mathrm{mm}\\ (\text{não relevante aqui porque estamos no caso sem aletas}),\\\ &\text{Espessura das aletas: } 1\\ \mathrm{mm}\\ (\text{idem}),\\\ &\text{Condutividade do cobre: } k = 380\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\\ (\text{não usada no caso sem aletas}). \end{aligned}çãçãã
O que se pede é a taxa de calor por unidade de área da parede (ou fluxo de calor superficial), assumindo que a superfície da parede está uniformemente à temperatura indicada e o resfriamento é por convecção com o ar.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a troca de calor por convecção na superfície é dada pela chamada lei de resfriamento de Newton. Para potência total:
\dot{Q} = h\,A\,(T_s - T_\infty),
onde \dot{Q} é a taxa de calor (em \mathrm{W}), h é o coeficiente de convecção (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}), A é a área da superfície (em \mathrm{m}^2), T_s é a temperatura da superfície e T_\infty é a temperatura do fluido distante. Aqui queremos a taxa por metro quadrado (fluxo de calor superficial), que chamamos de \dot{q}'':
\dot{q}''=\frac{\dot{Q}}{A}=h\,(T_s-T_\infty).
Explicando cada termo de forma simples:
  • h: mede a eficiência com que o ar remove calor da superfície (quanto maior, maior a troca);
  • T_s-T_\infty: diferença de temperatura entre superfície e ar, geradora do fluxo térmico;
  • \dot{q}'' terá unidades de \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Calcule a diferença de temperatura. Lembre que uma diferença em graus Celsius é numericamente igual à diferença em kelvins, então podemos usar:
\Delta T = T_s - T_\infty = 250^\circ\mathrm{C} - 30^\circ\mathrm{C} = 220\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituímos os valores na expressão do fluxo de calor superficial:
\dot{q}'' = h\,\Delta T = 40\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}}\times 220\\ \mathrm{K}.
Fazendo a multiplicação obtemos o valor numérico do fluxo superficial.

Passo 5

Verificação de unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\times \mathrm{K} = \mathrm{W}/\mathrm{m}^2, conforme esperado. Também é razoável fisicamente: diferença de temperatura de 220 graus com h=40 dá um fluxo da ordem de milhares de \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Resposta

8{,}8\times 10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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