Transferência de calor unidimensional por condução em regime estacionário sem geração interna de calor ocorre no sistema mostrado. A condutividade térmica do material é 25 W/m K, enquanto a espessura da parede L é de 0,5 m .
Determine as grandezas desconhecidas para cada caso mostrado na tabela a seguir esboce a distribuição de temperatura, indicando a direção do fluxo de calor.
Caso T1 T2 - qx(W/m ^2)
1 400 K 300 K
2 100 ^\circC -250
3 80 ^\circC +200
4 -5 ^\circC +4000
5 30 ^\circC -3000

Passo 1

O enunciado dá uma parede plana com espessura \,L=0{,}5\\ \mathrm{m}\, e condutividade térmica \,k=25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Para cada caso na tabela temos alguns dados (temperaturas nas faces e/ou fluxo de calor \,q_x'') e precisamos determinar as grandezas faltantes e esboçar a distribuição de temperatura indicando a direção do fluxo de calor. Lista dos dados fornecidos caso a caso:
  • Caso 1: \,T_1=400\\ \mathrm{K}, \,T_2=300\\ \mathrm{K} (procurar \,q_x'').
  • Caso 2: \,T_1=100^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=-250\\ \mathrm{W/m^2} (procurar \,T_2).
  • Caso 3: \,T_1=80^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=+200\\ \mathrm{W/m^2} (procurar \,T_2).
  • Caso 4: \,T_2=-5^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=+4000\\ \mathrm{W/m^2} (procurar \,T_1).
  • Caso 5: \,T_1=30^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=-3000\\ \mathrm{W/m^2} (procurar \,T_2).
Observação: adotamos o eixo x positivo da face 1 (esquerda) para a face 2 (direita). A convenção de sinal usada será a da lei de Fourier unidimensional abaixo.

Passo 2

Apresentação da relação física e explicação das variáveis (aula rápida e prática).
  • Lei de Fourier unidimensional (regime estacionário, sem geração): q_x'' = -\,k\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • \,q_x'' é o fluxo de calor por unidade de área (W/m ^2); sinal positivo indica calor fluindo no sentido +x.
  • \,k é a condutividade térmica (W/m·K).
  • \,dT/dx é o gradiente de temperatura (K/m).
  • Para uma parede homogênea em regime estacionário sem geração o perfil de temperatura é linear. Tomando x=0 na face 1 ( T(0)=T_1) e x=L na face 2 ( T(L)=T_2), o gradiente é \frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}.
Substituindo na lei de Fourier obtemos a forma prática muito usada: q_x'' = -k\frac{T_2-T_1}{L} = k\frac{T_1-T_2}{L}.
Essa última expressão é a que vamos usar para calcular \,q_x'' dado \,T_1 e \,T_2, ou para isolar \,T_1 ou \,T_2 quando \,q_x'' for conhecido:
  • Isolando \,T_2: T_2 = T_1 - \frac{q_x''\,L}{k}.
  • Isolando \,T_1: T_1 = T_2 + \frac{q_x''\,L}{k}.

Passo 3

Aplicação das fórmulas com os valores numéricos: cálculo do fator \dfrac{L}{k} para simplificar contas.
  • \frac{L}{k}=\frac{0{,}5}{25}=0{,}02\\ \mathrm{m^2\cdot K/W}.
Isso significa que \dfrac{q_x''L}{k}=q_x''\times 0{,}02 (unidade K). Vou usar isso nas contas para facilitar.

Passo 4

Dados: \,T_1=400\\ \mathrm{K}, \,T_2=300\\ \mathrm{K}.
  • Usando \,q_x''=k\frac{T_1-T_2}{L}: q_x'' = 25\cdot\frac{400-300}{0{,}5}.
  • Passo a passo: 400-300=100. \dfrac{100}{0{,}5}=200. 25\cdot200=5000.
  • Resultado: \,q_x''=5000\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Interpretação do sinal: \,q_x''>0 significa fluxo no sentido +x (da face 1 para a face 2), ou seja, do lado quente ( T_1) para o lado frio ( T_2). Perfil de temperatura: reta decrescente do valor 400\\ \mathrm{K} (esquerda) até 300\\ \mathrm{K} (direita); seta do fluxo apontando para a direita.

Passo 5

Dados: \,T_1=100^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=-250\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Usamos \,T_2 = T_1 - \dfrac{q_x''\,L}{k}.
  • Primeiro calcule \dfrac{q_x''\,L}{k}=q_x''\times 0{,}02=-250\times 0{,}02=-5\\ \mathrm{K}.
  • Então \,T_2 = 100 - (-5) = 100 + 5 = 105^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: \,q_x'' negativo indica fluxo no sentido -x (da direita para a esquerda). A face direita está mais quente ( 105^\circ\mathrm{C}) do que a esquerda ( 100^\circ\mathrm{C}). Perfil de temperatura: reta crescente da esquerda para a direita; seta do fluxo para a esquerda.

Passo 6

Dados: \,T_1=80^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=+200\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Calcule \dfrac{q_x''\,L}{k}=200\times 0{,}02=4\\ \mathrm{K}.
  • Então \,T_2 = T_1 - \dfrac{q_x''L}{k}=80-4=76^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: \,q_x''>0 indica fluxo para +x (da face 1 para a face 2). Perfil: reta decrescente de 80^\circ\mathrm{C} até 76^\circ\mathrm{C}; seta do fluxo para a direita.

Passo 7

Dados: \,T_2=-5^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=+4000\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Use \,T_1 = T_2 + \dfrac{q_x''\,L}{k}.
  • Primeiro \dfrac{q_x''\,L}{k}=4000\times 0{,}02=80\\ \mathrm{K}.
  • Portanto \,T_1 = -5 + 80 = 75^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: \,q_x''>0 => fluxo para +x (da esquerda para a direita). A face 1 é quente ( 75^\circ\mathrm{C}) e a face 2 fria ( -5^\circ\mathrm{C}). Perfil: reta decrescente esquerda→direita; seta do fluxo para a direita.

Passo 8

Dados: \,T_1=30^\circ\mathrm{C}, \,q_x''=-3000\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Calcule \dfrac{q_x''\,L}{k}=-3000\times 0{,}02=-60\\ \mathrm{K}.
  • Então \,T_2 = T_1 - \dfrac{q_x''L}{k}=30 - (-60)=30+60=90^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: \,q_x''<0 indica fluxo para -x (da direita para a esquerda). A face direita é mais quente ( 90^\circ\mathrm{C}). Perfil: reta crescente esquerda→direita; seta do fluxo para a esquerda.

Resposta

Caso 1: \,q_x''=5000\\ \mathrm{W/m^2} (fluxo para +x, da face 1 para 2).
Caso 2: \,T_2=105^\circ\mathrm{C} (fluxo \,q_x''=-250\\ \mathrm{W/m^2}, para -x, da face 2 para 1).
Caso 3: \,T_2=76^\circ\mathrm{C} (fluxo \,q_x''=200\\ \mathrm{W/m^2}, para +x, da face 1 para 2).
Caso 4: \,T_1=75^\circ\mathrm{C} (fluxo \,q_x''=4000\\ \mathrm{W/m^2}, para +x, da face 1 para 2).
Caso 5: \,T_2=90^\circ\mathrm{C} (fluxo \,q_x''=-3000\\ \mathrm{W/m^2}, para -x, da face 2 para 1).

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