Agua se escoa por um tubo cilíndrico de 2 cm de diametro interno, que se divide em três tubos cilíndricos de diametros internos iguais a 1 cm , e com vazōes dadas por 25 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, 15 \mathrm{~L} / \mathrm{min} e 10 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Qual é a razūo entre as velocidades da água no tubo de diâmetro maior, e no tubo de vazão igual a 25 \mathrm{~L} / \mathrm{min} ?
(a) \frac{1}{4}
(b) \frac{1}{3}
(c) \frac{1}{2}
(d) 1
(e) 2
(f) 3
(g) 4

Passo 1

Identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Diâmetro do tubo maior: 2\\ \mathrm{cm}.
  • O tubo maior se divide em três tubos iguais, cada um com diâmetro: 1\\ \mathrm{cm}.
  • Vazões nos três ramos: 25\\ \mathrm{L/min}, 15\\ \mathrm{L/min} e 10\\ \mathrm{L/min}.
  • Pergunta: qual é a razão entre a velocidade da água no tubo de diâmetro maior e a velocidade no tubo que tem vazão 25\\ \mathrm{L/min}? Ou seja, calcular \dfrac{v_{\text{maior}}}{v_{25}}.

Passo 2

Calcular a vazão total que passa pelo tubo maior (soma das três vazões nos ramos). Como as unidades são as mesmas, somamos diretamente:
Q_{\text{maior}} = 25\\ \mathrm{L/min} + 15\\ \mathrm{L/min} + 10\\ \mathrm{L/min} = 50\\ \mathrm{L/min}.

Passo 3

Lembrar a relação fundamental de continuidade para fluxo incompressível (água): vazão Q é área da seção transversal A vezes velocidade média v. Explicando devagar:
  • A fórmula é Q = A\,v,
onde \;Q\; é a vazão (volume por tempo), \;A\; é a área da seção (comprimento²) e \;v\; é a velocidade média (comprimento por tempo).
  • Aqui vamos usar essa fórmula para comparar velocidades: \;v = Q/A\;.

Passo 4

Escrever a razão entre as velocidades usando v=Q/A. Temos
\frac{v_{\text{maior}}}{v_{25}} = \frac{Q_{\text{maior}}/A_{\text{maior}}}{Q_{25}/A_{25}} = \frac{Q_{\text{maior}}}{Q_{25}}\cdot\frac{A_{25}}{A_{\text{maior}}}.
Ou seja, a razão das velocidades é o produto da razão das vazões pela razão das áreas (área do tubo de 1\\ \mathrm{cm} sobre área do tubo de 2\\ \mathrm{cm}).

Passo 5

Calcular a razão das áreas usando a fórmula da área do círculo. A área de uma seção circular de diâmetro d é
A = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}.
Assim, a razão entre a área do tubo de 1\\ \mathrm{cm} e a do tubo de 2\\ \mathrm{cm} é
\frac{A_{25}}{A_{\text{maior}}} = \frac{\pi (1\\ \mathrm{cm})^2/4}{\pi (2\\ \mathrm{cm})^2/4} = \frac{(1)^2}{(2)^2} = \frac{1}{4}.
(Aqui o \pi/4 cancela — por isso só importa o quadrado dos diâmetros.)

Passo 6

Substituir as razões calculadas na expressão da razão de velocidades. Já temos Q_{\text{maior}} = 50\\ \mathrm{L/min} e Q_{25} = 25\\ \mathrm{L/min}, então
\frac{Q_{\text{maior}}}{Q_{25}} = \frac{50}{25} = 2.
Usando também \dfrac{A_{25}}{A_{\text{maior}}}=\dfrac{1}{4}, obtemos
\frac{v_{\text{maior}}}{v_{25}} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
Note que as unidades de vazão se cancelam na razão, por isso não precisamos convertê-las.

Passo 7

Interpretação final e correspondência com as alternativas: a razão entre as velocidades é \dfrac{1}{2}, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

\frac{1}{2} (c)

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