Um disco circular de borracha tem raio e área iguais a
e
respectivamente. Qual é a altērnativa que mais se aproxima da variaçāo de temperatura
necessária para aumentar a área do disco em 1% em um aquecimento? Considere o coeficiente de dilatação do material igual a
, e, se necessário, utilize
para
.
(a) 25 K
(b) 10 K
(c) 5 K
(d) 50 K
(e) 20 K
(a) 25 K
(b) 10 K
(c) 5 K
(d) 50 K
(e) 20 K
Passo 1
O enunciado dá um disco circular de borracha com raio e área iniciais iguais a
e
respectivamente. Pede-se a variação de temperatura
necessária para que a área aumente
. Informações relevantes fornecidas:
- Coeficiente de dilatação linear do material:
. - Aumento de área desejado:
, ou seja . - Aproximações disponíveis:
e para .
O que se pede: calcularque produz .
Passo 2
Entendendo o coeficiente de dilatação linear
e seu significado. Para um comprimento qualquer (aqui o raio) a relação básica de dilatação linear é
onde:
-
é a variação do raio, -
é o raio inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear ( ), -
é a variação de temperatura (em ou ºC).
Isso significa: o raio cresce proporcionalmente à temperatura, com fator.
Passo 3
Relacionando a área com o raio. A área do disco é
. Após aquecimento o novo raio será
Então a nova área
vale
Aqui usei que
.
Passo 4
Expressando a variação relativa de área. Temos
Para
pequeno (o que é razoável), usamos a aproximação binomial dada:
quando
. Aplicando com
,
Interpretação: o coeficiente efetivo de dilatação de área é aproximadamente
.
Passo 5
Agora igualamos à condição do enunciado
e resolvemos para
:
Isolando
:
Substituindo
,
Fazendo a divisão:
Passo 6
Verificação alternativa (mais direta usando a raiz): aumentar a área em
significa que a nova área é
. Como
, o fator de aumento do raio é
. Usando a aproximação fornecida
, a variação relativa do raio é
Como
, temos
confirmação do resultado anterior.
Passo 7
Conclusão final: a variação de temperatura necessária é
, que corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d) 50 K