Um disco circular de borracha tem raio e área iguais a R_{0} e A_{0} respectivamente. Qual é a altērnativa que mais se aproxima da variaçāo de temperatura \Delta T necessária para aumentar a área do disco em 1% em um aquecimento? Considere o coeficiente de dilatação do material igual a \alpha= 10^{-4} K^{-1}, e, se necessário, utilize \sqrt{1,01} \approx 1,005, e(1+x)^{n} \approx 1+n x para |x|<1.
(a) 25 K
(b) 10 K
(c) 5 K
(d) 50 K
(e) 20 K

Passo 1

O enunciado dá um disco circular de borracha com raio e área iniciais iguais a \,R_{0}\, e \,A_{0}\, respectivamente. Pede-se a variação de temperatura \Delta T necessária para que a área aumente 1\%. Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente de dilatação linear do material: \alpha = 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Aumento de área desejado: 1\%, ou seja \displaystyle \frac{\Delta A}{A_{0}} = 0,01.
  • Aproximações disponíveis: \sqrt{1,01}\approx 1,005 e (1+x)^{n}\approx 1+n x para |x|<1.
    O que se pede: calcular \Delta T que produz \displaystyle \frac{\Delta A}{A_{0}}=0,01.

Passo 2

Entendendo o coeficiente de dilatação linear \alpha e seu significado. Para um comprimento qualquer (aqui o raio) a relação básica de dilatação linear é
\frac{\Delta R}{R_{0}}=\alpha\,\Delta T,
onde:
  • \Delta R é a variação do raio,
  • R_{0} é o raio inicial,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear ( \mathrm{K}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em \mathrm{K} ou ºC).
    Isso significa: o raio cresce proporcionalmente à temperatura, com fator \alpha.

Passo 3

Relacionando a área com o raio. A área do disco é \displaystyle A=\pi R^{2}. Após aquecimento o novo raio será
R = R_{0} + \Delta R = R_{0}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr).
Então a nova área A' vale
A'=\pi R^{2}=\pi R_{0}^{2}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^{2}=A_{0}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^{2}.
Aqui usei que A_{0}=\pi R_{0}^{2}.

Passo 4

Expressando a variação relativa de área. Temos
\frac{\Delta A}{A_{0}}=\frac{A'-A_{0}}{A_{0}}=\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^{2}-1.
Para \alpha\Delta T pequeno (o que é razoável), usamos a aproximação binomial dada: (1+x)^{2}\approx 1+2x quando |x|<1. Aplicando com x=\alpha\Delta T,
\frac{\Delta A}{A_{0}}\approx 2\alpha\Delta T.
Interpretação: o coeficiente efetivo de dilatação de área é aproximadamente 2\alpha.

Passo 5

Agora igualamos à condição do enunciado \displaystyle \frac{\Delta A}{A_{0}}=0,01 e resolvemos para \Delta T:
0,01 \approx 2\alpha\Delta T.
Isolando \Delta T:
\Delta T \approx \frac{0,01}{2\alpha}.
Substituindo \alpha=10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1},
\Delta T \approx \frac{0,01}{2\cdot 10^{-4}}=\frac{0,01}{0,0002}.
Fazendo a divisão:
\Delta T \approx 50\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Verificação alternativa (mais direta usando a raiz): aumentar a área em 1\% significa que a nova área é A'=1,01\,A_{0}. Como A'\propto R^{2}, o fator de aumento do raio é \sqrt{1,01}. Usando a aproximação fornecida \sqrt{1,01}\approx 1,005, a variação relativa do raio é
\frac{\Delta R}{R_{0}} \approx 1,005-1 = 0,005.
Como \frac{\Delta R}{R_{0}}=\alpha\Delta T, temos
\alpha\Delta T \approx 0,005 \quad\Rightarrow\quad \Delta T \approx \frac{0,005}{10^{-4}}=50\\ \mathrm{K},
confirmação do resultado anterior.

Passo 7

Conclusão final: a variação de temperatura necessária é \Delta T\approx 50\\ \mathrm{K}, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) 50 K

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