Um objeto com velocidade constante percorre uma trajetória retilínea à qual se fixou um eixo de coordenadas. Sabe-se que no instante t_{0}=0, a posição do objeto é x_{0}=500 \mathrm{me}, no instante \mathrm{t}=20 \mathrm{~s}, a posição é \mathrm{x}=200 \mathrm{~m}. Determine:
a). A velocidade do móvel. b). A função da posição. c). A posição nos instantes \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} e \mathrm{t}=15 \mathrm{~s}.
d). O instante em que ele passa pela origem.

Passo 1

O enunciado dá um objeto que se move em linha reta com velocidade constante. Ele fornece dois instantes e as posições correspondentes e pede quatro coisas. Vou listar exatamente os dados e as perguntas:
Dados:
\;t_{0}=0, \;x_{0}=500\\ \mathrm{m}.
\;t=20\\ \mathrm{s}, \;x=200\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
a) Determinar a velocidade do móvel.
b) Determinar a função da posição x(t).
c) Calcular a posição nos instantes \;t=1\\ \mathrm{s} e \;t=15\\ \mathrm{s}.
d) Determinar o instante em que ele passa pela origem (x=0).

Passo 2

Conceito básico (explicadinho): para movimento retilíneo com velocidade constante, a posição varia linearmente no tempo; isto é, a posição é uma função afim de t. A fórmula geral que usamos é a forma ponto-de-reta/posição:
x(t)=x_{0}+v\,(t-t_{0}),
onde:
  • \;x(t) é a posição no instante t,
  • \;x_{0} é a posição conhecida no instante \;t_{0},
  • \;v é a velocidade constante (é a inclinação da reta posição versus tempo),
  • \;t é o tempo variável.
Para achar a velocidade quando você tem duas posições em dois instantes, usamos a definição de velocidade média (que, no caso de velocidade constante, é exatamente a velocidade):
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x-x_{0}}{t-t_{0}}.
Aqui \Delta x é a variação da posição e \Delta t é a variação do tempo. Atenção às unidades: se \Delta x está em \mathrm{m} e \Delta t em \mathrm{s}, então v fica em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade usando os dados dados. Aplicando
v=\frac{x-x_{0}}{t-t_{0}}=\frac{200\\ \mathrm{m}-500\\ \mathrm{m}}{20\\ \mathrm{s}-0\\ \mathrm{s}}.
Agora fazemos a conta passo a passo:
200\\ \mathrm{m}-500\\ \mathrm{m}=-300\\ \mathrm{m},
20\\ \mathrm{s}-0\\ \mathrm{s}=20\\ \mathrm{s},
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v=\frac{-300\\ \mathrm{m}}{20\\ \mathrm{s}}=-15\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a velocidade é negativa ( -15\\ \mathrm{m/s}), isto significa que o objeto está se deslocando no sentido de coordenadas decrescentes — ou seja, indo de posições maiores para menores (por exemplo, de 500\\ \mathrm{m} em direção à origem).

Passo 4

Encontrar a função posição x(t). Usando \;t_{0}=0 e \;x_{0}=500\\ \mathrm{m} na fórmula geral
x(t)=x_{0}+v\,(t-t_{0}),
ficamos com
x(t)=500\\ \mathrm{m}+(-15\\ \mathrm{m/s})\,(t-0).
Simplificando:
x(t)=500-15\,t\quad(\mathrm{m}),
ou seja, explicitamente
x(t)=500-15t\\ \mathrm{m}.
Explicando: o termo 500 é o valor inicial da posição (ordenada ao tempo zero) e o coeficiente -15 é a inclinação da reta (quanto a posição muda por segundo).

Passo 5

Calcular \;x(1\\ \mathrm{s}) usando a função encontrada. Substituímos t=1 em
x(t)=500-15t.
Passo a passo:
x(1)=500-15\cdot 1=500-15=485\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular \;x(15\\ \mathrm{s}) da mesma forma. Substituímos t=15:
x(15)=500-15\cdot 15.
Fazendo a multiplicação:
15\cdot 15=225,
então
x(15)=500-225=275\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Determinar o instante em que x(t)=0 (quando o móvel passa pela origem). Partimos da função
x(t)=500-15t.
Colocamos x(t)=0 e resolvemos para t:
0=500-15t \quad\Rightarrow\quad 15t=500 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{500}{15}.
Simplificando a fração:
t=\frac{100}{3}\\ \mathrm{s}\approx 33,33\\ \mathrm{s}.
Interpretação: aproximadamente aos \;33{,}33\\ \mathrm{s} após o instante zero o objeto chega à origem.

Resposta

a) \;v=-15\\ \mathrm{m/s}
b) \;x(t)=500-15t\\ \mathrm{m}
c) \;x(1)=485\\ \mathrm{m}; \;x(15)=275\\ \mathrm{m}
d) \;t=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{s}\approx 33{,}33\\ \mathrm{s}

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