Um objeto com velocidade constante percorre uma trajetória retilínea à qual se fixou um eixo de coordenadas. Sabe-se que no instante
, a posição do objeto é
, no instante
, a posição é
. Determine:
a). A velocidade do móvel. b). A função da posição. c). A posição nos instantes
e
.
d). O instante em que ele passa pela origem.
a). A velocidade do móvel. b). A função da posição. c). A posição nos instantes
d). O instante em que ele passa pela origem.
Passo 1
O enunciado dá um objeto que se move em linha reta com velocidade constante. Ele fornece dois instantes e as posições correspondentes e pede quatro coisas. Vou listar exatamente os dados e as perguntas:
Dados:
,
.
,
.
Perguntas:
a) Determinar a velocidade do móvel.
b) Determinar a função da posição .
c) Calcular a posição nos instantes e
.
d) Determinar o instante em que ele passa pela origem .
a) Determinar a velocidade do móvel.
b) Determinar a função da posição
c) Calcular a posição nos instantes
d) Determinar o instante em que ele passa pela origem
Passo 2
Conceito básico (explicadinho): para movimento retilíneo com velocidade constante, a posição varia linearmente no tempo; isto é, a posição é uma função afim de
. A fórmula geral que usamos é a forma ponto-de-reta/posição:
onde:
-
é a posição no instante , -
é a posição conhecida no instante , -
é a velocidade constante (é a inclinação da reta posição versus tempo), -
é o tempo variável.
Para achar a velocidade quando você tem duas posições em dois instantes, usamos a definição de velocidade média (que, no caso de velocidade constante, é exatamente a velocidade):
Aqui
é a variação da posição e
é a variação do tempo. Atenção às unidades: se
está em
e
em
, então
fica em
.
Passo 3
Calcular a velocidade usando os dados dados. Aplicando
Agora fazemos a conta passo a passo:
logo
Interpretação rápida: a velocidade é negativa (
), isto significa que o objeto está se deslocando no sentido de coordenadas decrescentes — ou seja, indo de posições maiores para menores (por exemplo, de
em direção à origem).
Passo 4
Encontrar a função posição
. Usando
e
na fórmula geral
ficamos com
Simplificando:
ou seja, explicitamente
Explicando: o termo
é o valor inicial da posição (ordenada ao tempo zero) e o coeficiente
é a inclinação da reta (quanto a posição muda por segundo).
Passo 5
Calcular
usando a função encontrada. Substituímos
em
Passo a passo:
Passo 6
Calcular
da mesma forma. Substituímos
:
Fazendo a multiplicação:
então
Passo 7
Determinar o instante em que
(quando o móvel passa pela origem). Partimos da função
Colocamos
e resolvemos para
:
Simplificando a fração:
Interpretação: aproximadamente aos
após o instante zero o objeto chega à origem.
Resposta
a)
b)
c) ;
d)
b)
c)
d)