Água escoa numa tubulação horizontal de 5 cm de diâmetro com uma vazão de 5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A perda de carga num trecho de 10 m é 2 m .
Supondo o escoamento adiabático, qual seria a variação de temperatura entre as duas seções?
Dados: \gamma=104 \mathrm{~N} / \mathrm{m} 3 ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2 ; \mathrm{Ce}=4,186 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede a variação de temperatura entre duas seções de uma tubulação horizontal de água, sabendo que a perda de carga no trecho é de 2\\ \mathrm{m} e que o escoamento é adiabático. Informações fornecidas (peguei todos esses dados do enunciado):
  • Diâmetro da tubulação: D=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=5\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}=0,005\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Perda de carga no trecho de 10\\ \mathrm{m}: h_f=2\\ \mathrm{m}.
  • Peso específico informado: \gamma=104\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3 (há ambiguidade aqui: esse valor parece faltar um expoente — para água espera-se \gamma\approx 10^4\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3). Vou assumir que a notação correta é \gamma=10^4\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3, porque assim \rho=\gamma/g dá a densidade usual da água; se a intenção fosse realmente 104 então a densidade resultante seria física e numericamente inconsistênte com água.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • Calor específico: c_e=4{,}186\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: calcular a variação de temperatura \Delta T entre as duas seções, supondo escoamento adiabático.

Passo 2

Verificação rápida de grandezas do escoamento (apenas para checar se precisamos considerar variação de energia cinética entre seções).
  • Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0,05)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 0,0025}{4}=0,000625\pi\\ \mathrm{m}^2\approx 0,0019635\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade média no tubo:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,005}{0,0019635}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2{,}55\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Como o diâmetro é o mesmo nas duas seções, a velocidade é a mesma nas duas seções e, portanto, não há variação de energia cinética entre elas. A tubulação é horizontal, então também não há variação de energia potencial gravitacional entre as seções. Logo, a energia mecânica dissipada (a perda de carga) transforma-se em aumento de energia interna (temperatura) do fluido.

Passo 3

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula curta):
  • Em um escoamento adiabático e estacionário, qualquer energia mecânica perdida por atrito (representada pela perda de carga h_f, em metros) é convertida em energia interna do fluido. A energia por unidade de massa correspondente a uma perda de carga h_f é g\,h_f (em \mathrm{J}/\mathrm{kg}), porque energia por unidade de massa associada a uma cabeça h é g h.
  • Se a energia interna do fluido aumenta, sua temperatura aumenta. Para uma variação de temperatura pequena, a relação entre variação de energia interna por unidade de massa e variação de temperatura é dada por:
c_p\,\Delta T = \text{energia por unidade de massa convertida em calor} .
Aqui usamos c_p (calor específico a pressão constante) — para líquidos como a água c_p e c_v são praticamente iguais, e o enunciado fornece c_e que é o calor específico; vou tratá-lo como c_p.
  • Portanto a equação que podemos usar é:
c_e\,\Delta T = g\,h_f.
Explicando cada termo:
  • c_e é o calor específico da água em \mathrm{J}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}.
  • \Delta T é a variação de temperatura entre as seções (o que queremos).
  • g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • h_f é a perda de carga em metros.
    Essa fórmula vem de igualar a energia perdida por unidade de massa ( g h_f) com a energia necessária para aquecer a unidade de massa de água ( c_e \Delta T).

Passo 4

Converter o calor específico para unidades compatíveis e resolver a equação.
  • Dado c_e=4{,}186\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}, em joules por quilograma por grau:
c_e=4{,}186\times 10^{3}\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula c_e\Delta T = g h_f:
\Delta T = \frac{g\,h_f}{c_e}.
Substituindo valores (todos em SI):
\Delta T = \frac{10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 \times 2\\ \mathrm{m}}{4{,}186\times 10^{3}\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}}.
Calcule:
\Delta T = \frac{20}{4{,}186\times 10^{3}}\\ ^\circ\mathrm{C} \approx 4{,}78\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação do resultado e verificação de ordem de grandeza:
  • A variação de temperatura encontrada é muito pequena: \Delta T\approx 0{,}00478^\circ\mathrm{C}. Isso faz sentido fisicamente: a perda de carga de 2\\ \mathrm{m} corresponde a apenas 20\\ \mathrm{J} por quilograma de água, e como o calor específico da água é grande ( \approx 4186\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C}), a elevação de temperatura fica muito pequena.
  • Observação sobre a ambiguidade de \gamma: utilizei a interpretação \gamma=10^4\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3 (o valor habitual para água). A conta de \Delta T acima não depende explicitamente de \gamma; ela depende de g, h_f e c_e. A densidade/γ só seria necessária se tivéssemos que converter entre perda de pressão e perda de carga, mas aqui h_f já foi dado diretamente em metros, então não foi preciso usar \gamma.

Resposta

\Delta T\approx 4{,}78\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}

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