Água escoa numa tubulação horizontal de 5 cm de diâmetro com uma vazão de 5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A perda de carga num trecho de 10 m é 2 m .
Supondo o escoamento isotérmico, qual seria o fluxo de calor para o ambiente?
Dados: \gamma=104 \mathrm{~N} / \mathrm{m} 3 ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2 ; \mathrm{Ce}=4,186 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da tubulação: d=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
    • Vazão volumétrica: Q=5\\ \mathrm{L/s}=0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Perda de carga no trecho de comprimento 10\\ \mathrm{m}: h_f=2\\ \mathrm{m}.
    • Peso específico informado: \gamma=10^{4}\\ \mathrm{N/m^3} (interpréto como 10^{4} porque unidade \mathrm{N/m^3} e água típica).
    • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Calor específico: C_e=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} (fornecido, mas veremos que não é necessário).
  • O que o enunciado pede:
    • Supondo escoamento isotérmico, determinar o fluxo de calor para o ambiente (ou seja, a taxa de calor perdida para o meio ambiente), em unidades de potência.

Passo 2

Entender a física: por que a perda de carga gera calor?
  • Em escoamento permanente incompressível e isotérmico, a energia mecânica perdida por atrito (representada pela perda de carga h_f) é dissipada e, se a temperatura do fluido se mantém constante, essa energia é transferida para o ambiente na forma de calor.
  • A energia mecânica perdida por unidade de massa é g\,h_f (joules por kg). Portanto a potência (energia por segundo) dissipada é a massa por segundo vezes g\,h_f.
  • Fórmula fundamental que vamos usar:
\dot{Q}_{\text{amb}}=\dot{m}\,g\,h_f,
onde \dot{Q}_{\text{amb}} é a taxa de calor para o ambiente (W), \dot{m} é a vazão mássica (kg/s), g é a gravidade (m/s^2) e h_f é a perda de carga (m).

Passo 3

Calcular a área da seção e a velocidade (para checar ordem de grandeza; não é essencial para a potência, mas é útil aprender a fazer):
  • Área da seção:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(0,05)^2}{4}=0,000625\pi\\ \mathrm{m^2}\approx0,0019635\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,005}{0,0019635}\approx2,55\\ \mathrm{m/s}.
(Esse passo é só um check; não será usado diretamente na potência.)

Passo 4

Determinar a densidade \rho a partir do peso específico \gamma.
  • Relação entre peso específico e densidade: \gamma=\rho\,g. Logo
\rho=\frac{\gamma}{g}=\frac{10^{4}\\ \mathrm{N/m^3}}{10\\ \mathrm{m/s^2}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Calcular a vazão mássica \dot{m}:
\dot{m}=\rho\,Q=1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times0,005\\ \mathrm{m^3/s}=5\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da potência dissipada (calor para o ambiente):
\dot{Q}_{\text{amb}}=\dot{m}\,g\,h_f=5\\ \mathrm{kg/s}\times10\\ \mathrm{m/s^2}\times2\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{W}.
Explicação didática: cada quilograma de água perde energia potencial/pressão equivalente a g\,h_f joules; 5 kg a cada segundo implicam 5\times g\,h_f joules por segundo, ou watts. Como o escoamento é isotérmico, essa energia dissipada aparece como calor transferido para o ambiente (ou para as paredes).

Passo 7

Comentário sobre o calor específico C_e: em processos isotérmicos não há variação de temperatura do fluido, então não se usa \dot{Q}=\dot{m}\,C_e\,\Delta T porque \Delta T=0. O valor de C_e é irrelevante para calcular a taxa de calor para o ambiente neste caso — a taxa é dada pela energia mecânica dissipada (como fizemos).

Resposta

100\\ \mathrm{W}

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