Em um projeto de drenagem urbana precisa-se verificar se o gabarito de uma ponte existente sobre um canal permite a passagem da vazão de projeto, sem provocar remanso a sua montante. O canal trapezoidal projetado para uma vazão de
tem declividade de fundo
e
. A largura de fundo é
e taludes
. A seção da ponte tem, como gabarito retangular, largura de
e altura útil de
. As cotas de fundo do canal e da seção da ponte são iguais. Verifique se a seção da ponte é suficiente para passar a vazão de projeto, sem alterar a linha d’água a sua montante. Calcule a altura d’água na seção da ponte. Se a seção da ponte não for suficiente, determine a altura d’água imediatamente antes da ponte. Despreze as perdas de carga na transição das seções trapezoidal para retangular.
Passo 1
O que o enunciado dá (valores retirados do enunciado):
- Vazão de projeto:
. - Declividade do fundo:
. - Rugosidade de Manning:
. - Canal trapezoidal: largura de fundo
e taludes . (ou seja, é a razão horizontal/vertical dos taludes). - Ponte (gabarito): seção retangular de largura
e altura útil . - As cotas de fundo do canal e da seção da ponte são iguais (mesmo nível de fundo).
O enunciado pede:
- Verificar se a seção retangular da ponte é suficiente para passar
sem alterar a linha d’água a montante. - Calcular a altura d’água na seção da ponte.
- Se a seção da ponte não for suficiente, determinar a altura d’água imediatamente antes da ponte (ou seja, a escalação d’água montante causada pela restrição).
Passo 2
Plano de ataque (sem detalhes teóricos profundos ainda, só o que será feito):
- Calcular a profundidade normal do canal trapezoidal (profundidade de escoamento para a vazão
com a condição de escoamento uniforme) usando a equação de Manning:
onde
é a área molhada,
é o raio hidráulico e
é o perímetro molhado.
- Verificar se, mantendo essa profundidade normal (
), a seção retangular da ponte com largura permite passar a vazão (ou seja, calcular a capacidade da seção retangular ao mesmo valor de profundidade). - Se a seção retangular for insuficiente à profundidade
, verificar se ela consegue passar com profundidade menor ou igual a (isto é, resolver Manning para a seção retangular e ver se há uma solução ). Se nem mesmo com a ponte passar , então a ponte fica totalmente submersa (cheia) e a altura na ponte será ; nesse caso determinar a profundidade imediatamente a montante aplicando conservação de energia (desprezando perdas de carga na transição), ou seja:
com
e
.
Antes de partir para os cálculos, explico sucintamente as fórmulas que vou usar (para você entender na hora da prova):
- Área do trapézio (canal):
, com . - Perímetro molhado do trapézio:
. - Área do retângulo:
. - Perímetro molhado do retângulo:
. - Raio hidráulico:
. - Equação de Manning (já dada acima) é a forma prática para escoamento uniforme em canais abertos; nela
é a rugosidade, é a declividade do fundo (igual à energia por comprimento para escoamento uniforme).
Passo 3
Cálculo da profundidade normal do canal trapezoidal (
).
Expressões específicas para o trapézio (com
):
Raio hidráulico
.
Aplicando Manning:
Agora vamos resolver numericamente por tentativa (método prático que funciona em prova). Faço alguns testes e mostro os cálculos reduzidos (a ideia é ver o comportamento e aproximar
).
Teste rápido em
:
Muito menor que
; precisamos de maior profundidade.
Teste em
:
Agora é ligeiramente maior que
. Logo
está entre
e
m, perto de
m.
Refino com tentativas intermediárias (mostro os valores mais relevantes):
- Em
: . - Em
: .
Interpolando/aperfeiçoando chegamos a:
(Verificação rápida substituindo
na fórmula de Manning dá
, aceitável para arredondamento.)
Portanto a profundidade normal do trapézio é aproximadamente
.
Comentário prático: esse é o nível que o canal teria em regime uniforme livre se nada restringisse a seção.
Passo 4
Verificar se a ponte passa
sem alterar a linha d’água montante (isto é, sem aumentar a profundidade montante): calcular a vazão que a seção retangular da ponte admite quando a profundidade é
. Se a seção retangular com profundidade
tiver capacidade
, então não há alteração montante; caso contrário haverá remanso.
Para a seção retangular (largura
) com profundidade
:
Aplicando Manning:
Conclusão deste passo: com a profundidade normal do canal
, a seção retangular da ponte só passaria cerca de
, bem menor que
. Portanto a ponte não consegue passar a vazão mantendo a linha d’água montante inalterada; haverá remanso (elevação do nível montante).
Passo 5
Verificar se a ponte consegue, ao menos com sua altura útil máxima
, passar a vazão
. Isto é, resolver Manning para a seção retangular com
e ver se existe
tal que
.
Teste no limite superior
(a ponte toda cheia, sem transbordo):
Resultado: mesmo com a ponte totalmente cheia (profundidade na ponte igual a
), a capacidade é aproximadamente
, ainda inferior a
. Portanto a ponte não é suficiente: mesmo fechada ela não passa a vazão de projeto; assim haverá subida do nível montante acima do topo da abertura (transbordamento da ponte) até que o balanço de energia permita escoar
.
Passo 6
Como a ponte não passa
nem com
, fixamos a profundidade na seção da ponte como
(a abertura fica totalmente submersa) e calculamos a profundidade imediatamente a montante
usando conservação de energia (desprezando perdas de carga na transição), ou seja:
onde
e
.
Primeiro calculemos
com
:
O termo de cabeça cinética na ponte:
Portanto o lado direito da equação de energia fica:
Agora escrevemos a equação para
:
Nesta equação
(área do trapézio montante). Temos de resolver numericamente para
.
Fazendo tentativas:
- Em
: , , . LHS (< 2,8822) → precisa aumentar . - Em
: , , , LHS (>2,8822) → agora LHS maior, então entre e .
Refino entre
e
:
- Em
: , , , LHS (ligeiramente acima de ). - Em
: , , , LHS (ligeiramente abaixo de ).
Interpolando entre
e
obtemos a solução aproximada:
Verificação rápida: para
a LHS fica muito próxima de
, o que satisfaz a conservação de energia com a precisão adotada.
Interpretação física: o nível imediatamente a montante da ponte sobe para cerca de
, isto é, acima da altura útil da ponte (
) — portanto haverá transbordamento sobre a ponte / gabarito.
Passo 7
Resumo das conclusões e respostas numéricas finais (valores com precisão prática):
- Profundidade normal do canal trapezoidal:
. - Capacidade da ponte com
: (insuficiente). - Capacidade máxima da ponte com
(abertura totalmente submersa): (ainda inferior a ). - Portanto a seção da ponte NÃO é suficiente para passar a vazão de projeto sem alterar a linha d’água montante.
- Altura d’água na seção da ponte (quando escoamento estabilizado e a ponte fica cheia):
(por ser a altura útil máxima; a ponte ficará submersa). - Altura d’água imediatamente antes da ponte (montante), obtida por conservação de energia sem perdas:
.
Resposta
A seção da ponte NÃO é suficiente para passar a vazão de projeto sem remanso montante.
Altura d’água na seção da ponte: .
Altura d’água imediatamente antes da ponte: .
Altura d’água na seção da ponte:
Altura d’água imediatamente antes da ponte: