Em um projeto de drenagem urbana precisa-se verificar se o gabarito de uma ponte existente sobre um canal permite a passagem da vazão de projeto, sem provocar remanso a sua montante. O canal trapezoidal projetado para uma vazão de 16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} tem declividade de fundo \mathrm{I}=0,001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e \mathrm{n}=0,030. A largura de fundo é \mathrm{b}=4 \mathrm{~m} e taludes 1,5 \mathrm{H}: 1,0 \mathrm{~V}. A seção da ponte tem, como gabarito retangular, largura de 4,50 \mathrm{~m} e altura útil de 2,80 \mathrm{~m}. As cotas de fundo do canal e da seção da ponte são iguais. Verifique se a seção da ponte é suficiente para passar a vazão de projeto, sem alterar a linha d’água a sua montante. Calcule a altura d’água na seção da ponte. Se a seção da ponte não for suficiente, determine a altura d’água imediatamente antes da ponte. Despreze as perdas de carga na transição das seções trapezoidal para retangular.

Passo 1

O que o enunciado dá (valores retirados do enunciado):
  • Vazão de projeto: \,Q=16\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Declividade do fundo: \,I=0,001\\ \mathrm{m/m}.
  • Rugosidade de Manning: \,n=0,030.
  • Canal trapezoidal: largura de fundo \,b=4{,}0\\ \mathrm{m} e taludes \,1{,}5\\ \mathrm{H}:1{,}0\\ \mathrm{V}. (ou seja, z=1{,}5 é a razão horizontal/vertical dos taludes).
  • Ponte (gabarito): seção retangular de largura \,B=4{,}50\\ \mathrm{m} e altura útil \,H=2{,}80\\ \mathrm{m}.
  • As cotas de fundo do canal e da seção da ponte são iguais (mesmo nível de fundo).
O enunciado pede:
  1. Verificar se a seção retangular da ponte é suficiente para passar \,Q=16\\ \mathrm{m^{3}/s} sem alterar a linha d’água a montante.
  2. Calcular a altura d’água na seção da ponte.
  3. Se a seção da ponte não for suficiente, determinar a altura d’água imediatamente antes da ponte (ou seja, a escalação d’água montante causada pela restrição).

Passo 2

Plano de ataque (sem detalhes teóricos profundos ainda, só o que será feito):
  • Calcular a profundidade normal do canal trapezoidal (profundidade de escoamento para a vazão Q com a condição de escoamento uniforme) usando a equação de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,I^{1/2},
onde A é a área molhada, R=A/P é o raio hidráulico e P é o perímetro molhado.
  • Verificar se, mantendo essa profundidade normal ( y_n), a seção retangular da ponte com largura \,B=4{,}50\\ \mathrm{m} permite passar a vazão (ou seja, calcular a capacidade da seção retangular ao mesmo valor de profundidade).
  • Se a seção retangular for insuficiente à profundidade y_n, verificar se ela consegue passar Q com profundidade menor ou igual a H=2{,}80\\ \mathrm{m} (isto é, resolver Manning para a seção retangular e ver se há uma solução y\le 2{,}80\\ \mathrm{m}). Se nem mesmo com \,y=2{,}80\\ \mathrm{m} a ponte passar Q, então a ponte fica totalmente submersa (cheia) e a altura na ponte será 2{,}80\\ \mathrm{m}; nesse caso determinar a profundidade imediatamente a montante aplicando conservação de energia (desprezando perdas de carga na transição), ou seja:
y_{\text{mont}}+\frac{V_{\text{mont}}^{2}}{2g}=y_{\text{ponte}}+\frac{V_{\text{ponte}}^{2}}{2g},
com V=Q/A e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Antes de partir para os cálculos, explico sucintamente as fórmulas que vou usar (para você entender na hora da prova):
  • Área do trapézio (canal): \,A=b\,y+z\,y^{2}, com z=1{,}5.
  • Perímetro molhado do trapézio: \,P=b+2\,y\sqrt{1+z^{2}}.
  • Área do retângulo: \,A_r=B\,y.
  • Perímetro molhado do retângulo: \,P_r=B+2y.
  • Raio hidráulico: \,R=A/P.
  • Equação de Manning (já dada acima) é a forma prática para escoamento uniforme em canais abertos; nela n é a rugosidade, I é a declividade do fundo (igual à energia por comprimento para escoamento uniforme).

Passo 3

Cálculo da profundidade normal do canal trapezoidal ( y_n).
Expressões específicas para o trapézio (com z=1{,}5):
A(y)=b\,y+z\,y^{2}=4\,y+1{,}5\,y^{2},
P(y)=b+2y\sqrt{1+z^{2}}=4+2y\sqrt{1+1{,}5^{2}}=4+2y\sqrt{3{,}25}.
Raio hidráulico R(y)=\dfrac{A(y)}{P(y)}.
Aplicando Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A(y)\,R(y)^{2/3}\,I^{1/2}.
Agora vamos resolver numericamente por tentativa (método prático que funciona em prova). Faço alguns testes e mostro os cálculos reduzidos (a ideia é ver o comportamento e aproximar y_n).
Teste rápido em \,y=1{,}00\\ \mathrm{m}:
A=4\cdot1+1{,}5\cdot1^{2}=5{,}5\\ \mathrm{m^{2}},
P=4+2\cdot1\cdot\sqrt{3{,}25}=4+2\cdot1{,}802=4+3{,}605=7{,}605\\ \mathrm{m},
R=\dfrac{5{,}5}{7{,}605}=0{,}723,
R^{2/3}\approx0{,}806,\qquad I^{1/2}=\sqrt{0{,}001}=0{,}0316228.
Q\approx\frac{1}{0{,}03}\cdot5{,}5\cdot0{,}806\cdot0{,}0316228 \approx 4{,}67\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Muito menor que 16\\ \mathrm{m^{3}/s}; precisamos de maior profundidade.
Teste em \,y=2{,}00\\ \mathrm{m}:
A=4\cdot2+1{,}5\cdot4=8+6=14{,}0\\ \mathrm{m^{2}},
P=4+2\cdot2\cdot1{,}802=4+7{,}208=11{,}208\\ \mathrm{m},
R=\dfrac{14{,}0}{11{,}208}=1{,}249,\quad R^{2/3}\approx1{,}159,
Q\approx\frac{1}{0{,}03}\cdot14{,}0\cdot1{,}159\cdot0{,}0316228 \approx 17{,}09\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Agora é ligeiramente maior que 16. Logo y_n está entre 1{,}0 e 2{,}0 m, perto de 2{,}0 m.
Refino com tentativas intermediárias (mostro os valores mais relevantes):
  • Em y=1{,}90\\ \mathrm{m}: Q\approx15{,}48\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Em y=1{,}95\\ \mathrm{m}: Q\approx16{,}32\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Interpolando/aperfeiçoando chegamos a:
y_{n}\approx1{,}932\\ \mathrm{m}.
(Verificação rápida substituindo y=1{,}932 na fórmula de Manning dá Q\approx16{,}01\\ \mathrm{m^{3}/s}, aceitável para arredondamento.)
Portanto a profundidade normal do trapézio é aproximadamente \,y_n=1{,}932\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: esse é o nível que o canal teria em regime uniforme livre se nada restringisse a seção.

Passo 4

Verificar se a ponte passa \,Q sem alterar a linha d’água montante (isto é, sem aumentar a profundidade montante): calcular a vazão que a seção retangular da ponte admite quando a profundidade é y_n. Se a seção retangular com profundidade y_n tiver capacidade \ge Q, então não há alteração montante; caso contrário haverá remanso.
Para a seção retangular (largura B=4{,}50\\ \mathrm{m}) com profundidade y=1{,}932\\ \mathrm{m}:
A_r=B\,y=4{,}5\cdot1{,}932=8{,}694\\ \mathrm{m^{2}},
P_r=B+2y=4{,}5+2\cdot1{,}932=8{,}364\\ \mathrm{m},
R_r=\dfrac{A_r}{P_r}=\dfrac{8{,}694}{8{,}364}=1{,}0396,
R_r^{2/3}\approx1{,}0262.
Aplicando Manning:
Q_{\text{ponte@}y_n}=\frac{1}{n}\,A_r\,R_r^{2/3}\,I^{1/2} \approx\frac{1}{0{,}03}\cdot8{,}694\cdot1{,}0262\cdot0{,}0316228\approx9{,}41\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Conclusão deste passo: com a profundidade normal do canal \,y_n=1{,}932\\ \mathrm{m}, a seção retangular da ponte só passaria cerca de \,9{,}41\\ \mathrm{m^{3}/s}, bem menor que \,16\\ \mathrm{m^{3}/s}. Portanto a ponte não consegue passar a vazão mantendo a linha d’água montante inalterada; haverá remanso (elevação do nível montante).

Passo 5

Verificar se a ponte consegue, ao menos com sua altura útil máxima \,H=2{,}80\\ \mathrm{m}, passar a vazão Q. Isto é, resolver Manning para a seção retangular com B=4{,}5 e ver se existe y\le 2{,}80 tal que Q=16.
Teste no limite superior y=2{,}80\\ \mathrm{m} (a ponte toda cheia, sem transbordo):
A_r=B\,y=4{,}5\cdot2{,}8=12{,}6\\ \mathrm{m^{2}},
P_r=4{,}5+2\cdot2{,}8=10{,}1\\ \mathrm{m},
R_r=\dfrac{12{,}6}{10{,}1}=1{,}2475,\quad R_r^{2/3}\approx1{,}159.
Q_{\text{ponte@}2{,}8}=\frac{1}{0{,}03}\cdot12{,}6\cdot1{,}159\cdot0{,}0316228\approx15{,}40\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Resultado: mesmo com a ponte totalmente cheia (profundidade na ponte igual a 2{,}80\\ \mathrm{m}), a capacidade é aproximadamente \,15{,}40\\ \mathrm{m^{3}/s}, ainda inferior a \,16\\ \mathrm{m^{3}/s}. Portanto a ponte não é suficiente: mesmo fechada ela não passa a vazão de projeto; assim haverá subida do nível montante acima do topo da abertura (transbordamento da ponte) até que o balanço de energia permita escoar Q.

Passo 6

Como a ponte não passa Q nem com y=2{,}80\\ \mathrm{m}, fixamos a profundidade na seção da ponte como y_{\text{ponte}}=2{,}80\\ \mathrm{m} (a abertura fica totalmente submersa) e calculamos a profundidade imediatamente a montante y_{\text{mont}} usando conservação de energia (desprezando perdas de carga na transição), ou seja:
y_{\text{mont}}+\frac{V_{\text{mont}}^{2}}{2g}=y_{\text{ponte}}+\frac{V_{\text{ponte}}^{2}}{2g},
onde V=Q/A e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Primeiro calculemos V_{\text{ponte}} com y_{\text{ponte}}=2{,}80\\ \mathrm{m}:
A_{\text{ponte}}=B\,y_{\text{ponte}}=4{,}5\cdot2{,}8=12{,}6\\ \mathrm{m^{2}},
V_{\text{ponte}}=\dfrac{Q}{A_{\text{ponte}}}=\dfrac{16}{12{,}6}=1{,}26984\\ \mathrm{m/s}.
O termo de cabeça cinética na ponte:
\frac{V_{\text{ponte}}^{2}}{2g}=\frac{(1{,}26984)^{2}}{2\cdot9{,}81}\approx0{,}0822\\ \mathrm{m}.
Portanto o lado direito da equação de energia fica:
y_{\text{ponte}}+\frac{V_{\text{ponte}}^{2}}{2g}=2{,}80+0{,}0822=2{,}8822\\ \mathrm{m}.
Agora escrevemos a equação para y_{\text{mont}}:
y_{\text{mont}}+\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{A_{\text{mont}}(y_{\text{mont}})}\right)^{2}=2{,}8822.
Nesta equação A_{\text{mont}}(y)=4\,y+1{,}5\,y^{2} (área do trapézio montante). Temos de resolver numericamente para y_{\text{mont}}.
Fazendo tentativas:
  • Em y=2{,}80\\ \mathrm{m}: A=22{,}96\\ \mathrm{m^{2}}, V=16/22{,}96=0{,}6971\\ \mathrm{m/s}, V^{2}/(2g)=0{,}0248. LHS =2{,}80+0{,}0248=2{,}8248 (< 2,8822) → precisa aumentar y.
  • Em y=2{,}90\\ \mathrm{m}: A=4\cdot2{,}9+1{,}5\cdot2{,}9^{2}=11{,}6+12{,}615=24{,}215, V=16/24{,}215=0{,}661, V^{2}/(2g)=0{,}0222, LHS =2{,}90+0{,}0222=2{,}9222 (>2,8822) → agora LHS maior, então y_{\text{mont}} entre 2{,}80 e 2{,}90.
Refino entre 2{,}80 e 2{,}90:
  • Em y=2{,}86\\ \mathrm{m}: A=4\cdot2{,}86+1{,}5\cdot2{,}86^{2}=11{,}44+12{,}2694=23{,}7094, V=16/23{,}7094=0{,}6749, V^{2}/(2g)=0{,}02323, LHS =2{,}86+0{,}02323=2{,}88323 (ligeiramente acima de 2{,}8822).
  • Em y=2{,}858\\ \mathrm{m}: A\approx23{,}6806, V\approx0{,}67586, V^{2}/(2g)\approx0{,}02334, LHS =2{,}858+0{,}02334=2{,}88134 (ligeiramente abaixo de 2{,}8822).
Interpolando entre 2{,}858 e 2{,}86 obtemos a solução aproximada:
y_{\text{mont}}\approx2{,}859\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida: para y_{\text{mont}}=2{,}859\\ \mathrm{m} a LHS fica muito próxima de 2{,}8822, o que satisfaz a conservação de energia com a precisão adotada.
Interpretação física: o nível imediatamente a montante da ponte sobe para cerca de 2{,}859\\ \mathrm{m}, isto é, acima da altura útil da ponte ( 2{,}80\\ \mathrm{m}) — portanto haverá transbordamento sobre a ponte / gabarito.

Passo 7

Resumo das conclusões e respostas numéricas finais (valores com precisão prática):
  • Profundidade normal do canal trapezoidal: \,y_n\approx1{,}932\\ \mathrm{m}.
  • Capacidade da ponte com y=y_n: \approx9{,}41\\ \mathrm{m^{3}/s} (insuficiente).
  • Capacidade máxima da ponte com y=2{,}80\\ \mathrm{m} (abertura totalmente submersa): \approx15{,}40\\ \mathrm{m^{3}/s} (ainda inferior a 16\\ \mathrm{m^{3}/s}).
  • Portanto a seção da ponte NÃO é suficiente para passar a vazão de projeto sem alterar a linha d’água montante.
  • Altura d’água na seção da ponte (quando escoamento estabilizado e a ponte fica cheia): \,y_{\text{ponte}}=2{,}80\\ \mathrm{m} (por ser a altura útil máxima; a ponte ficará submersa).
  • Altura d’água imediatamente antes da ponte (montante), obtida por conservação de energia sem perdas: \,y_{\text{mont}}\approx2{,}859\\ \mathrm{m}.

Resposta

A seção da ponte NÃO é suficiente para passar a vazão de projeto sem remanso montante.
Altura d’água na seção da ponte: 2{,}80\\ \mathrm{m}.
Altura d’água imediatamente antes da ponte: \,2{,}859\\ \mathrm{m}.

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