Água escoa numa tubulação horizontal de 5 cm de diâmetro com uma vazão de 5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A perda de carga num trecho de 10 m é 2 m .
Qual é a queda de pressão entre as duas seções?
Dados: \gamma=104 \mathrm{~N} / \mathrm{m} 3 ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2 ; \mathrm{Ce}=4,186 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Vazão volumétrica: Q=5\\ \mathrm{L/s}=0,005\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Diâmetro do tubo: D=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do trecho: L=10\\ \mathrm{m} (não é necessário para o cálculo pedido, mas está no enunciado).
  • Perda de carga no trecho: h_f=2\\ \mathrm{m}.
  • Peso específico do fluido (dado no enunciado): \gamma=10^{4}\\ \mathrm{N/m^3} (assumido a partir de \gamma=104\\ \mathrm{N/m^3} com o expoente implícito).
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Calor específico C_e dado, mas não será usado aqui.
O que a questão pede:
  • Calcular a queda de pressão entre as duas seções (ou seja, \Delta p = p_1-p_2) correspondendo à perda de carga h_f.

Passo 2

Conceito e fórmula principal que vamos usar (aulas rápidas): a equação de Bernoulli com perda de carga entre duas seções 1 e 2, para escoamento permanente, diz
\frac{p_1}{\gamma}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\gamma}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2+h_f.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{p}{\gamma} é a “carga de pressão” em metros de fluido (pressão dividida pelo peso específico).
  • \dfrac{v^2}{2g} é a carga cinética (velocidade transformada em metros de coluna de fluido).
  • z é a cota geométrica (altura).
  • h_f é a perda de carga (em metros) entre as seções.

Passo 3

Simplificações aplicáveis ao problema:
  • O tubo é horizontal, logo z_1=z_2 e esses termos se cancelam.
  • É o mesmo diâmetro nas duas seções do mesmo tubo, logo a velocidade média é a mesma: v_1=v_2. Assim, os termos \dfrac{v_1^2}{2g} e \dfrac{v_2^2}{2g} também se cancelam.
Com essas simplificações a equação de Bernoulli reduz para
\frac{p_1}{\gamma}=\frac{p_2}{\gamma}+h_f.
Rearranjando,
\frac{p_1-p_2}{\gamma}=h_f \quad\Rightarrow\quad \Delta p \equiv p_1-p_2=\gamma\,h_f.
Esta é a relação-chave: a perda de carga h_f (em metros de coluna de água) multiplicada pelo peso específico \gamma dá a queda de pressão em pascal.

Passo 4

(Faço uma verificação intermediária calculando a velocidade média para mostrar que de fato ela é a mesma nas duas seções.)
Área da seção do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,05)^2}{4}=\pi\cdot0,000625=0,000625\pi\\ \mathrm{m^2}\approx0,0019635\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,005}{0,0019635}\approx2,55\\ \mathrm{m/s}.
Como as duas seções têm o mesmo diâmetro, v_1=v_2\approx2,55\\ \mathrm{m/s} e portanto o cancelamento feito no passo anterior é válido.

Passo 5

Cálculo numérico da queda de pressão usando \Delta p=\gamma h_f:
\Delta p=\gamma\,h_f=10^{4}\\ \mathrm{N/m^3}\times2\\ \mathrm{m}=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^2}.
Convertendo para unidades usuais:
2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^2}=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=20\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Resumo didático rápido: a perda de carga de 2\\ \mathrm{m} significa que a pressão caiu o equivalente a uma coluna de água de 2\\ \mathrm{m}; multiplicando pela densidade vezes g (ou diretamente pelo peso específico \gamma) obtém-se a queda de pressão em pascal.

Resposta

\Delta p=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=20\\ \mathrm{kPa}

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