Agua escoando por um tubo com 100 mm de diâmetro é usada para determinar a perda de pressão quando a gasolina escoa por um tubo de 75 mm a 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se a perda de pressão no tubo que transporta água é 8 Pa , determine a perda de pressão no tubo que transporta gasolina. Considere que v_{g}=0,465 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, v_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=0,890 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \rho_{g}=726 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=997 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a perda de pressão no tubo que transporta gasolina.
Informações fornecidas (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Diâmetro do tubo da água: D_{\mathrm{H_2O}} = 100\\ \mathrm{mm} = 0,100\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do tubo da gasolina: D_{g} = 75\\ \mathrm{mm} = 0,075\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da gasolina: V_{g} = 3\\ \mathrm{m/s}.
  • Perda de pressão medida no tubo da água: \Delta p_{\mathrm{H_2O}} = 8\\ \mathrm{Pa}.
  • Viscosidade cinemática da gasolina: \nu_{g} = 0,465\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Viscosidade cinemática da água: \nu_{\mathrm{H_2O}} = 0,890\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Densidade da gasolina: \rho_{g} = 726\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Densidade da água: \rho_{\mathrm{H_2O}} = 997\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação clara sobre o objetivo: usar o experimento com água (tubo de 0,100\\ \mathrm{m} e perda de 8\\ \mathrm{Pa}) para prever a perda de pressão para gasolina no tubo de 0,075\\ \mathrm{m} à velocidade dada.

Passo 2

Ideia física e hipótese usada (explicação didática):
  • Em escoamento interno, a perda de pressão por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde:
  • f é o fator de atrito (adimensional),
  • L é o comprimento do trecho considerado,
  • D é o diâmetro do tubo,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • V é a velocidade média do escoamento.
  • Para usar a experiência com água como modelo para a gasolina precisamos que o fator de atrito f seja o mesmo nos dois casos. Em condições de semelhança dinâmica (superfícies com mesma rugosidade relativa e mesmo regime de fluxo) isso ocorre se os números de Reynolds forem iguais:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Aqui \nu é a viscosidade cinemática. Portanto, para igualar f entre os dois ensaios, exigimos
\mathrm{Re}_{\mathrm{H_2O}}=\mathrm{Re}_{g}.
(Na prática de modelagem isto é o procedimento padrão: igualar \mathrm{Re} para obter o mesmo f.)

Passo 3

Encontrar a velocidade da água que torna os números de Reynolds iguais:
  • Igualando \mathrm{Re}:
\frac{V_{\mathrm{H_2O}} D_{\mathrm{H_2O}}}{\nu_{\mathrm{H_2O}}} = \frac{V_{g} D_{g}}{\nu_{g}}.
  • Resolver para V_{\mathrm{H_2O}}:
V_{\mathrm{H_2O}} = V_{g}\,\frac{D_{g}}{D_{\mathrm{H_2O}}}\,\frac{\nu_{\mathrm{H_2O}}}{\nu_{g}}.
  • Substituindo os valores (todos fornecidos no enunciado):
V_{\mathrm{H_2O}} = 3\cdot\frac{0,075}{0,100}\cdot\frac{0,890\cdot10^{-6}}{0,465\cdot10^{-6}}.
  • Calcular passo a passo:
    • \dfrac{0,075}{0,100}=0,75.
    • \dfrac{0,890\cdot10^{-6}}{0,465\cdot10^{-6}}=\dfrac{0,890}{0,465}\approx 1,9139784946.
    • Multiplicando: V_{\mathrm{H_2O}} = 3\cdot 0,75\cdot 1,9139784946 = 2{,}25\cdot 1{,}9139784946 \approx 4{,}306451613\\ \mathrm{m/s}.
Portanto:
V_{\mathrm{H_2O}}\approx 4{,}306451613\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Relação entre as perdas de pressão quando f é o mesmo:
  • Se assumirmos que os ensaios são geometricamente semelhantes de modo que a razão L/D usada nos dois casos seja a mesma (hipótese usual em modelagem), então na fórmula de Darcy–Weisbach f e L/D são iguais nos dois casos. Assim
\frac{\Delta p_{g}}{\Delta p_{\mathrm{H_2O}}} = \frac{\rho_{g} V_{g}^{2}}{\rho_{\mathrm{H_2O}} V_{\mathrm{H_2O}}^{2}}.
  • Isolando \Delta p_{g}:
\Delta p_{g} = \Delta p_{\mathrm{H_2O}}\;\frac{\rho_{g} V_{g}^{2}}{\rho_{\mathrm{H_2O}} V_{\mathrm{H_2O}}^{2}}.
Explicação curta do porquê: com f e L/D constantes, só resta a combinação \rho V^{2} que determina a escala da perda de pressão.

Passo 5

Cálculo numérico final:
  • Já temos V_{\mathrm{H_2O}}. Agora substituímos na fórmula:
\Delta p_{g} = 8\cdot\frac{726\cdot 3^{2}}{997\cdot (4{,}306451613)^{2}}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcule os termos:
    • 726\cdot 3^{2}=726\cdot 9=6534.
    • (4{,}306451613)^{2}\approx 18{,}554.
    • 997\cdot 18{,}554\approx 18\,498{,}34.
    • Fração \dfrac{6534}{18\,498{,}34}\approx 0{,}353328.
    • Multiplicando por 8: \Delta p_{g}\approx 8\cdot 0{,}353328 \approx 2{,}8266\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
\Delta p_{g}\approx 2{,}83\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

2,83\\ \mathrm{Pa}

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