Agua escoando por um tubo com 100 mm de diâmetro é usada para determinar a perda de pressão quando a gasolina escoa por um tubo de 75 mm a
. Se a perda de pressão no tubo que transporta água é 8 Pa , determine a perda de pressão no tubo que transporta gasolina. Considere que
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a perda de pressão no tubo que transporta gasolina.
Informações fornecidas (peguei todos estes valores do enunciado):
- Diâmetro do tubo da água:
. - Diâmetro do tubo da gasolina:
. - Velocidade da gasolina:
. - Perda de pressão medida no tubo da água:
. - Viscosidade cinemática da gasolina:
. - Viscosidade cinemática da água:
. - Densidade da gasolina:
. - Densidade da água:
.
Observação clara sobre o objetivo: usar o experimento com água (tubo de
e perda de
) para prever a perda de pressão para gasolina no tubo de
à velocidade dada.
Passo 2
Ideia física e hipótese usada (explicação didática):
- Em escoamento interno, a perda de pressão por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
onde:
-
é o fator de atrito (adimensional), -
é o comprimento do trecho considerado, -
é o diâmetro do tubo, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade média do escoamento. -
Para usar a experiência com água como modelo para a gasolina precisamos que o fator de atrito
seja o mesmo nos dois casos. Em condições de semelhança dinâmica (superfícies com mesma rugosidade relativa e mesmo regime de fluxo) isso ocorre se os números de Reynolds forem iguais:
Aqui
é a viscosidade cinemática. Portanto, para igualar
entre os dois ensaios, exigimos
(Na prática de modelagem isto é o procedimento padrão: igualar
para obter o mesmo
.)
Passo 3
Encontrar a velocidade da água que torna os números de Reynolds iguais:
- Igualando
:
- Resolver para
:
- Substituindo os valores (todos fornecidos no enunciado):
- Calcular passo a passo:
-
. -
. - Multiplicando:
-
Portanto:
Passo 4
Relação entre as perdas de pressão quando
é o mesmo:
- Se assumirmos que os ensaios são geometricamente semelhantes de modo que a razão
usada nos dois casos seja a mesma (hipótese usual em modelagem), então na fórmula de Darcy–Weisbach e são iguais nos dois casos. Assim
- Isolando
:
Explicação curta do porquê: com
e
constantes, só resta a combinação
que determina a escala da perda de pressão.
Passo 5
Cálculo numérico final:
- Já temos
. Agora substituímos na fórmula:
- Calcule os termos:
-
. -
. -
. - Fração
. - Multiplicando por
:
-
Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos: