Uma placa fina e retangular está.imersa em um escoamento uniforme com velocidade ao longe igual a V. A placa apresenta largura e a altura respectivamente iguais a w e h e está montada perpendicularmente ao escoamento principal. Admita que o arrasto na placa, F_{A}, é função de w, h, da massa específica (\rho), da viscosidade dinâmica (\mu) e da velocidade do escoamento ao longe V. Determine o conjunto de termos \Pi adequado para o cálculo experimental deste problema.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o conjunto de termos adimensionais \Pi (grupos de Buckingham) para o arrasto sobre uma placa retangular fina montada perpendicularmente a um escoamento uniforme. As informações dadas (variáveis que influenciam F_A) são:
  • F_A: arrasto na placa (força) — variável dependente.
  • w: largura da placa (comprimento).
  • h: altura da placa (comprimento).
  • \rho: massa específica do fluido.
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido.
  • V: velocidade do escoamento ao longe.
O que se pede: encontrar um conjunto adequado de grupos adimensionais \{\Pi_i\} que descrevam experimentalmente o problema (ou seja, expressar uma relação do tipo \Pi_1 = \Phi(\Pi_2,\Pi_3,\dots)).

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (Buckingham \Pi — sem pressupor que já sabe): a ideia é construir combinações das variáveis que sejam adimensionais. Se temos n variáveis e r grandezas fundamentais independentes (aqui M,L,T), então existem n-r grupos adimensionais independentes. Aplicando:
  • Número de variáveis: n=6 ( F_A,w,h,\rho,\mu,V).
  • Grandezas fundamentais: r=3 (massa M, comprimento L, tempo T).
  • Logo número de grupos: n-r=6-3=3.
Portanto procuraremos 3 grupos adimensionais independentes.

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas (repeating variables). Critérios: não podem formar um grupo adimensional entre si, devem cobrir as dimensões M,L,T, e devem ser independentes. Uma escolha natural e conveniente é:
  • \rho (contém M e L),
  • V (contém L e T),
  • w (contém L).
Essas três cobrem M,L,T e não são adimensionais entre si. Com elas construiremos os três \Pi envolvendo cada uma das demais variáveis ( F_A,\mu,h) multiplicadas por potências apropriadas de \rho,V,w.

Passo 4

Construção do primeiro grupo [\Pi_1) envolvendo F_A.
Procuramos \Pi_1 da forma
\Pi_1 = F_A \,\rho^{a}\, V^{b}\, w^{c},
escolhendo expoentes a,b,c de modo que \Pi_1 seja adimensional.
Primeiro escrevemos as dimensões:
  • [F_A]=M\,L\,T^{-2},
  • [\rho]=M\,L^{-3},
  • [V]=L\,T^{-1},
  • [w]=L.
As dimensões de \Pi_1 são
[M]^{1+a}\,[L]^{1-3a+b+c}\,[T]^{-2-b}.
Para ser adimensional, os expoentes devem ser zero. Então resolvemos o sistema:
\begin{cases} 1+a=0,\\[4pt] -2-b=0,\\[4pt] 1-3a+b+c=0. \end{cases}
Da primeira equação a=-1\]. Da segunda \(b=-2. Substituindo na terceira:
1-3(-1)+(-2)+c=0 \quad\Rightarrow\quad 1+3-2+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-2.
Portanto
\Pi_1 = F_A\,\rho^{-1}\,V^{-2}\,w^{-2} = \dfrac{F_A}{\rho\,V^{2}\,w^{2}}.
Interpretação curta: \Pi_1 é um número adimensional relacionado ao coeficiente de arrasto; é a forma adimensional natural para a força de arrasto com a escolha de escala \rho V^{2} w^{2}.]

Passo 5

Construção do segundo grupo [\Pi_2) envolvendo \mu.
Procuramos
\Pi_2 = \mu \,\rho^{a}\, V^{b}\, w^{c}.
Dimensões:
  • [\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
As dimensões de \Pi_2 são
[M]^{1+a}\,[L]^{-1-3a+b+c}\,[T]^{-1-b}.
Impondo adimensionalidade:
\begin{cases} 1+a=0,\\[4pt] -1-b=0,\\[4pt] -1-3a+b+c=0. \end{cases}
Da primeira a=-1\]. Da segunda \(b=-1. Substituindo na terceira:
-1-3(-1)+(-1)+c=0 \quad\Rightarrow\quad -1+3-1+c=0 \quad\Rightarrow\quad c=-1.
Logo
\Pi_2 = \mu\,\rho^{-1}\,V^{-1}\,w^{-1} = \dfrac{\mu}{\rho\,V\,w}.
Interpretação: \Pi_2 é o inverso do número de Reynolds baseado em w. É mais comum usar o Reynolds definido por
\mathrm{Re} = \dfrac{\rho\,V\,w}{\mu},
então \Pi_2 = \mathrm{Re}^{-1}. Em experimentos costuma-se expressar a dependência em termos de \mathrm{Re}.]

Passo 6

Construção do terceiro grupo \Pi_3 envolvendo h.
Procuramos
\Pi_3 = h\,\rho^{a}\,V^{b}\,w^{c}.
Como h tem dimensão L, uma escolha simples que torna \Pi_3 adimensional é escolher a=0 e b=0 e então achar c tal que as potências de L se anulem:
Dimensões: [L]^{1 + c}. Para ficar adimensional 1+c=0, logo c=-1. Assim
\Pi_3 = h\,w^{-1} = \dfrac{h}{w}.
Interpretação: \Pi_3 é a razão de aspectos (aspect ratio) da placa — importante porque a força de arrasto geralmente depende da área e da forma (aqui h/w mede a proporção entre altura e largura).

Passo 7

Colocando tudo junto: os três grupos adimensionais independentes escolhidos são (escrevendo-os de forma usuais):
\Pi_1 = \dfrac{F_A}{\rho\,V^{2}\,w^{2}},\qquad \Pi_2 = \dfrac{\rho\,V\,w}{\mu}\quad(\text{Re}),\qquad \Pi_3 = \dfrac{h}{w}.
A relação experimental pode então ser escrita como
\Pi_1 = \Phi(\Pi_2,\Pi_3),
ou explicitamente
\dfrac{F_A}{\rho\,V^{2}\,w^{2}} = \Phi\!\left(\dfrac{\rho\,V\,w}{\mu},\;\dfrac{h}{w}\right).
Observação útil: a escolha dos grupos não é única (por exemplo \Pi_2 poderia ser \mu/(\rho V w)), mas a forma acima é a mais usual (usa o Reynolds positivo). Isso é o que se emprega em correlacões experimentais.
Força e ânimo: dá pra montar ensaio variando \mathrm{Re} e h/w e obter \Pi_1 experimentalmente — vai dar certo!

Resposta

\displaystyle \Pi_1=\dfrac{F_A}{\rho\,V^{2}\,w^{2}}
\displaystyle \Pi_2=\dfrac{\rho\,V\,w}{\mu}
\displaystyle \Pi_3=\dfrac{h}{w}

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