Um campo de velocidade é dado por
\mathbf{V}=2 x y \hat{\mathbf{i}}-y^{2} \hat{\mathbf{j}} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
O valor da aceleração no ponto ( -1 \mathrm{~m} ; 2 \mathrm{~m} ) é, aproximadamente,
  • 11,21 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2}
  • 14,69 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2}
  • 17,89 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2}
  • 1,20 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-2}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
\mathbf{V}=2 x y\,\hat{\mathbf{i}}-y^{2}\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
e pede o valor da aceleração no ponto \bigl(-1\\ \mathrm{m},\;2\\ \mathrm{m}\bigr). As alternativas fornecidas são:
\begin{aligned} &\text{(a)}\\\ 11,21\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2},\\\ &\text{(b)}\\\ 14,69\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2},\\\ &\text{\text{(c)}}\\\ 17,89\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2},\\\ &\text{(d)}\\\ 1,20\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}. \end{aligned}
O que precisamos calcular: a aceleração (vetor) do fluido no ponto dado e, em seguida, seu módulo para comparar com as alternativas.

Passo 2

Conceito que vamos usar: aceleração de partícula no campo de velocidade (derivada material). A fórmula geral é
\mathbf{a}=\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
Explicando de forma simples: a aceleração tem duas partes — mudança local no tempo ( \partial\mathbf{V}/\partial t) e a mudança que ocorre porque a partícula se desloca pelo campo ( (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}). No nosso problema não há dependência explícita do tempo no campo dado, logo
\mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
Se escrevermos \mathbf{V}=u(x,y)\,\hat{\mathbf{i}}+v(x,y)\,\hat{\mathbf{j}}, o operador convectivo fica
(\mathbf{V}\cdot\nabla)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}.
Isto significa que aplicamos u\partial_x+v\partial_y a cada componente do vetor velocidade.

Passo 3

Identificar as componentes u e v e calcular derivadas parciais:
Temos
u(x,y)=2xy,\qquad v(x,y)=-y^{2}.
Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=2y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2x,
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-2y.
Explicação curta: para \partial(2xy)/\partial x tratamos y como constante, ficando 2y; para \partial(-y^2)/\partial y usamos a regra da potência, ficando -2y.

Passo 4

Montar as componentes da aceleração usando o operador convectivo. Aplicando u\partial_x+v\partial_y em cada componente obtemos
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y},
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo as derivadas que calculamos,
a_x = u(2y)+v(2x)=2u y+2v x,
a_y = u(0)+v(-2y)=-2v y.
Estas fórmulas dizem exatamente como combinar as componentes u,v e as derivadas para obter a aceleração ponto a ponto.

Passo 5

Avaliar tudo no ponto \bigl(x=-1,\;y=2\bigr).
Primeiro calcule as componentes da velocidade no ponto:
u( -1,2)=2(-1)(2)=-4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
v( -1,2)=-(2)^{2}=-4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Agora calcule a_x e a_y usando as fórmulas do passo anterior:
a_x = 2u y+2v x = 2\cdot(-4)\cdot 2 + 2\cdot(-4)\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
2\cdot(-4)\cdot 2 = -16,\qquad 2\cdot(-4)\cdot(-1)=8,
portanto
a_x = -16 + 8 = -8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Para a_y:
a_y = -2v y = -2\cdot(-4)\cdot 2.
Calcule:
-2\cdot(-4)\cdot 2 = 16,
logo
a_y = 16\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Assim o vetor aceleração no ponto é
\mathbf{a}= -8\,\hat{\mathbf{i}} + 16\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Passo 6

Calcular o módulo da aceleração (pois as alternativas estão em valor escalar):
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{(-8)^{2}+16^{2}}=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}.
Simplificando,
\sqrt{320}=\sqrt{64\cdot 5}=8\sqrt{5}\approx 17,8885\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
Arredondando para duas casas decimais fica 17,89\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}. Comparando com as alternativas, a correta é a que dá 17,89\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}.

Resposta

17,89\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}

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