Água flui de uma bomba através de um tubo comercial de aço carbono de 0,25 \mathrm{~m} de diâmetro, por uma distância de 5 km a partir da descarga da bomba, para um reservatório aberto para a atmosfera. O nível da água no reservatório está 7 m acima da descarga da bomba e a velocidade média da água no tubo é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a pressão na descarga da bomba. \mathbf{R}-\mathbf{P}=\mathbf{1 , 4 M P a}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a pressão na descarga da bomba (ponto 1 na figura).
Informações dadas (peguei esses dados do enunciado e da figura):
  • Diâmetro do tubo: D=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do trecho: L=5{,}0\\ \mathrm{km}=5000\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de nível do reservatório em relação à descarga da bomba: z_2-z_1=7\\ \mathrm{m} (o nível do reservatório está 7\\ \mathrm{m} acima da descarga).
  • Velocidade média na tubulação: V_1=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Reservatório aberto à atmosfera (logo p_2= pressão atmosférica).
  • Condições do fluido: água (vai-se usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} a temperatura ambiente).
  • A solução dada no enunciado é \mathbf{R-P=1,4\\ MPa} (vamos chegar a esse valor).

Passo 2

Escolha do método (breve, sem explicar a matéria ainda): vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o ponto de descarga da bomba (ponto 1, dentro do tubo) e a superfície livre do reservatório (ponto 2), incluindo as perdas de carga por atrito no trecho retilíneo. Escrever a equação e isolar p_1.
A equação de Bernoulli com perdas de carga por atrito entre 1 e 2 fica:
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2+h_f,
onde h_f é a perda de carga total por atrito no trecho. Vou explicar cada termo:
  • \frac{p}{\rho g} é a “carga de pressão” (em metros de coluna de água).
  • \frac{V^2}{2g} é a “carga de velocidade” (energia cinética por unidade de peso).
  • z é a cota (carga potencial).
  • h_f são as perdas (em metros).
Como o reservatório é grande, podemos tomar V_2\approx0. Também tomamos a pressão na superfície livre como referência atmosférica e tratamos essa pressão como zero de referência (ou seja, calculamos pressão gauge em p_1 relativa à atmosfera): \dfrac{p_2}{\rho g}=0. Além disso, z_2-z_1=7\\ \mathrm{m}. Reorganizando para p_1:
\frac{p_1}{\rho g} = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{V_2^2-V_1^2}{2g} + (z_2-z_1) + h_f.
Substituindo p_2/(\rho g)=0 e V_2\approx0:
\frac{p_1}{\rho g} = -( \frac{V_1^2}{2g}) + (z_2-z_1) + h_f.
Portanto precisamos calcular h_f.

Passo 3

Cálculo da perda de carga por atrito h_f usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento ( 5000\\ \mathrm{m}),
  • D o diâmetro ( 0,25\\ \mathrm{m}),
  • V a velocidade média ( 3{,}0\\ \mathrm{m/s}),
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Para obter f precisamos saber o regime de escoamento (laminar/turbulento) e a rugosidade relativa da tubulação. Primeiro calculemos o número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}=\frac{3{,}0\cdot 0{,}25}{1{,}0\times10^{-6}}=750000.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento. Para tubulação comercial de aço carbono a rugosidade absoluta usual adotada em muitos problemas-texto é \epsilon=0{,}045\\ \mathrm{mm}=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. (Essa escolha de \epsilon é a que nos leva ao resultado indicado no enunciado.)

Passo 4

Cálculo do fator de atrito f (fórmula explícita usada: Swamee–Jain — fórmula explícita aproximada prática para escoamento turbulento em tubos rugosos):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Agora substituímos os valores:
  • \epsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m},
  • D=0{,}25\\ \mathrm{m} então \dfrac{\epsilon}{D}=1{,}8\times10^{-4},
  • \dfrac{\epsilon}{3{,}7D}=\dfrac{1{,}8\times10^{-4}}{3{,}7}=4{,}86\times10^{-5}.
    Calcule \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9}=(7{,}5\times10^{5})^{0{,}9}\approx1{,}94\times10^{5}.
Então
\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{1{,}94\times10^{5}}=2{,}96\times10^{-5}.
Somando os termos dentro do logaritmo:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 4{,}86\times10^{-5}+2{,}96\times10^{-5}=7{,}82\times10^{-5}.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(7{,}82\times10^{-5})\approx -4{,}105.
Logo
f=\frac{0{,}25}{(-4{,}105)^2}=\frac{0{,}25}{16{,}86}\approx0{,}01485.
Explicação curta: escolhemos a fórmula Swamee–Jain porque dá f explicitamente (sem iteração) e é adequada para esse regime turbulento; a rugosidade escolhida é a convencional para aço carbono em muitos problemas.

Passo 5

Cálculo de h_f:
Primeiro a cabeça de velocidade no trecho:
\frac{V^2}{2g}=\frac{3{,}0^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{9}{19{,}62}\approx0{,}4593\\ \mathrm{m}.
A razão L/D é
\frac{L}{D}=\frac{5000}{0{,}25}=20000.
Agora
h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=0{,}01485\times20000\times0{,}4593\approx136{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Substituir em Bernoulli para achar a carga de pressão em p_1 (em metros de água):
\frac{p_1}{\rho g}= -\frac{V_1^2}{2g} + (z_2-z_1)+ h_f = -0{,}4593 + 7 + 136{,}4 \approx 142{,}94\\ \mathrm{m}.
Converter carga em pressão:
p_1=\rho g \left(\frac{p_1}{\rho g}\right)=1000\cdot 9{,}81 \cdot 142{,}94 \approx 1{,}402\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Em megapascais:
p_1\approx 1{,}402\\ \mathrm{MPa}\approx 1{,}40\\ \mathrm{MPa}.
Observação: como a referência usada foi a pressão atmosférica em p_2, este resultado é a pressão gauge no ponto de descarga (diferença de pressão em relação à atmosfera). Arredondando conforme o enunciado obtemos 1{,}4\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação rápida e verificação: o termo dominante é a perda por atrito ao longo de 5\\ \mathrm{km} de tubulação estreita; a contribuição da elevação ( 7\\ \mathrm{m}) é pequena em comparação com as perdas por atrito. A escolha da rugosidade \epsilon influencia bastante f e, portanto, p_1; com a rugosidade adotada ( 0{,}045\\ \mathrm{mm}) obtém-se o valor fornecido no enunciado.

Resposta

1{,}4\\ \mathrm{MPa}

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