Água flui de uma bomba através de um tubo comercial de aço carbono de
de diâmetro, por uma distância de 5 km a partir da descarga da bomba, para um reservatório aberto para a atmosfera. O nível da água no reservatório está 7 m acima da descarga da bomba e a velocidade média da água no tubo é de
. Calcule a pressão na descarga da bomba.
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a pressão na descarga da bomba (ponto 1 na figura).
Informações dadas (peguei esses dados do enunciado e da figura):
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do trecho:
. - Diferença de nível do reservatório em relação à descarga da bomba:
(o nível do reservatório está acima da descarga). - Velocidade média na tubulação:
. - Reservatório aberto à atmosfera (logo
pressão atmosférica). - Condições do fluido: água (vai-se usar
e a temperatura ambiente). - A solução dada no enunciado é
(vamos chegar a esse valor).
Passo 2
Escolha do método (breve, sem explicar a matéria ainda): vamos aplicar a equação de Bernoulli entre o ponto de descarga da bomba (ponto 1, dentro do tubo) e a superfície livre do reservatório (ponto 2), incluindo as perdas de carga por atrito no trecho retilíneo. Escrever a equação e isolar
.
A equação de Bernoulli com perdas de carga por atrito entre 1 e 2 fica:
onde
é a perda de carga total por atrito no trecho. Vou explicar cada termo:
-
é a “carga de pressão” (em metros de coluna de água). -
é a “carga de velocidade” (energia cinética por unidade de peso). -
é a cota (carga potencial). -
são as perdas (em metros).
Como o reservatório é grande, podemos tomar
. Também tomamos a pressão na superfície livre como referência atmosférica e tratamos essa pressão como zero de referência (ou seja, calculamos pressão gauge em
relativa à atmosfera):
. Além disso,
. Reorganizando para
:
Substituindo
e
:
Portanto precisamos calcular
.
Passo 3
Cálculo da perda de carga por atrito
usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento ( ), -
o diâmetro ( ), -
a velocidade média ( ), -
.
Para obter
precisamos saber o regime de escoamento (laminar/turbulento) e a rugosidade relativa da tubulação. Primeiro calculemos o número de Reynolds:
Como
, o escoamento é turbulento. Para tubulação comercial de aço carbono a rugosidade absoluta usual adotada em muitos problemas-texto é
. (Essa escolha de
é a que nos leva ao resultado indicado no enunciado.)
Passo 4
Cálculo do fator de atrito
(fórmula explícita usada: Swamee–Jain — fórmula explícita aproximada prática para escoamento turbulento em tubos rugosos):
Agora substituímos os valores:
-
, -
então , -
.
Calcule:
Então
Somando os termos dentro do logaritmo:
Agora o logaritmo:
Logo
Explicação curta: escolhemos a fórmula Swamee–Jain porque dá
explicitamente (sem iteração) e é adequada para esse regime turbulento; a rugosidade escolhida é a convencional para aço carbono em muitos problemas.
Passo 5
Cálculo de
:
Primeiro a cabeça de velocidade no trecho:
A razão
é
Agora
Passo 6
Substituir em Bernoulli para achar a carga de pressão em
(em metros de água):
Converter carga em pressão:
Em megapascais:
Observação: como a referência usada foi a pressão atmosférica em
, este resultado é a pressão gauge no ponto de descarga (diferença de pressão em relação à atmosfera). Arredondando conforme o enunciado obtemos
.
Passo 7
Interpretação rápida e verificação: o termo dominante é a perda por atrito ao longo de
de tubulação estreita; a contribuição da elevação (
) é pequena em comparação com as perdas por atrito. A escolha da rugosidade
influencia bastante
e, portanto,
; com a rugosidade adotada (
) obtém-se o valor fornecido no enunciado.