Um vacuômetro instalado na canalização de sucção de uma bomba, 1,2 \mathrm{~m} abaixo desta, acusa uma depressão de 178 mm de Hg . O diâmetro da canalização é 10 cm e sua descarga de óleo (d=0,85) é de 331 / \mathrm{s}. Calcular a altura total de carga neste ponto, tomando como plano de referência o plano da bomba e expressá-la em: a) m.c. óleo; b) m.c.a.

Passo 1

Vamos listar cuidadosamente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • O vacuômetro indica uma depressão de 178\\ \mathrm{mm\\ Hg}. Ou seja, a pressão no ponto é menor que a pressão atmosférica por uma coluna de mercúrio de altura h_{\mathrm{Hg}}=178\\ \mathrm{mm}=0,178\\ \mathrm{m}.
    • O ponto onde está o vacuômetro fica 1,2\\ \mathrm{m} abaixo do plano de referência (plano da bomba). Vou tomar a cota do plano da bomba como z_{\text{bomba}}=0 e, portanto, a cota do ponto é z=-1,2\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da tubulação: D=0,10\\ \mathrm{m}.
    • Densidade relativa do óleo: d=0,85. Assim a densidade do óleo é \rho_{\text{o}}=0,85\cdot 1000=850\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Vazão indicada no enunciado: vou interpretar a notação dada como Q=33{,}1\\ \mathrm{L/s}=0,0331\\ \mathrm{m^3/s}. (Escolhi esta interpretação porque a unidade mais plausível para o contexto é litro por segundo; se o enunciado original tiver outra unidade, o procedimento é o mesmo.)
    • Constantes físicas usuais que usaremos: aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, densidade do mercúrio \rho_{\mathrm{Hg}}=13\,560\\ \mathrm{kg/m^3}, pressão atmosférica p_{\mathrm{atm}}=101\,325\\ \mathrm{Pa} e densidade da água \rho_{\mathrm{w}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a altura total de carga (head total) no ponto indicado, tomando como plano de referência o plano da bomba, e expressar essa altura em:
      a) metros de coluna de óleo (m.c. óleo);
      b) metros de coluna d’água (m.c.a.).
Observação: a “altura total de carga” que vamos calcular é a soma das contribuições: pressão convertida em altura (p/(ρg)), cota z e velocidade convertida em altura (energia cinética por unidade de peso, v^2/(2g)). No Passo 2 começo a transformar a leitura do vacuômetro em pressão e depois em altura.

Passo 2

Converter a leitura do vacuômetro (depressão em mm de Hg) em diferença de pressão em pascal.
  • A depressão corresponde à diferença de pressão entre a atmosfera e a pressão no ponto: \Delta p = \rho_{\mathrm{Hg}}\,g\,h_{\mathrm{Hg}}.Substituindo valores: \Delta p = 13\,560\cdot 9{,}81\cdot 0{,}178\\ \mathrm{Pa}.Vamos calcular passo a passo: 13\,560\cdot 9{,}81 = 133\,013{,}6
\Delta p = 133\,013{,}6\cdot 0{,}178 = 23\,697{,} (aprox.)
Assim:
\Delta p \approx 23\,697\\ \mathrm{Pa}.
  • A pressão absoluta no ponto é: p_{\text{ponto}} = p_{\mathrm{atm}} - \Delta p = 101\,325 - 23\,697 \approx 77\,628\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Converter a pressão p_{\text{ponto}} em altura de coluna de óleo (termo p/(\rho g) em metros de óleo).
  • A fórmula para converter pressão em altura de coluna do mesmo fluido é: h_p = \frac{p}{\rho g}.Aqui, para obter metros de coluna de óleo usamos \rho=\rho_{\text{o}}=850\\ \mathrm{kg/m^3}. Então: \frac{p_{\text{ponto}}}{\rho_{\text{o}} g} = \frac{77\,628}{850\cdot 9{,}81}.Calculemos o denominador: 850\cdot 9{,}81 = 8\,338{,}5.Portanto: \frac{p_{\text{ponto}}}{\rho_{\text{o}} g} \approx \frac{77\,628}{8\,338{,}5} \approx 9{,}31\\ \mathrm{m\\ (óleo)}.ó
Breve interpretação didática: isso significa que a pressão no ponto é equivalente ao peso de uma coluna de óleo de aproximadamente 9{,}31\\ \mathrm{m} de altura.

Passo 4

Calcular a velocidade média no duto a partir da vazão Q e do diâmetro D; depois calcular a cabeça de velocidade v^2/(2g).
  • Área da seção circular:
    A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}10)^2}{4}.
    Calculando:
    A = \pi\cdot 0{,}0025 \approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média:
    v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}0331}{0{,}00785398}\\ \mathrm{m/s}.
    Calculando:
    v \approx 4{,}21\\ \mathrm{m/s}.
  • Cabeça de velocidade:
    \frac{v^2}{2g}=\frac{(4{,}21)^2}{2\cdot 9{,}81}.
    Primeiro v^2\approx 17{,}74. Então
    \frac{v^2}{2g}\approx \frac{17{,}74}{19{,}62}\approx 0{,}906\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: v^2/(2g) é a “altura equivalente” associada à energia cinética do escoamento — é o quão alta seria uma coluna de fluido que corresponde à energia cinética por unidade de peso.

Passo 5

Montar a expressão da altura total de carga no ponto, referida ao plano da bomba, e calcular em metros de óleo.
  • A definição de altura total de carga (head) em um ponto do escoamento é:
    H = \frac{p}{\rho g} + z + \frac{v^2}{2g},
    onde \frac{p}{\rho g} é a pressão expressa em metros de coluna do fluido usado (aqui óleo), z é a cota do ponto em relação ao plano de referência (a bomba) e \frac{v^2}{2g} é a cabeça de velocidade.
  • Substituindo os valores (tudo em metros de óleo):
    H_{\text{(óleo)}} = 9{,}31 + (-1{,}20) + 0{,}906.ó
    Calculando:
    H_{\text{(óleo)}} \approx 9{,}31 - 1{,}20 + 0{,}906 = 9{,}016\\ \mathrm{m}.ó
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
H_{\text{(óleo)}} \approx 9{,}02\\ \mathrm{m\\ (m.c.\\ óleo)}.óó

Passo 6

Converter a altura total agora para metros de coluna d’água (m.c.a.).
  • Observação: as parcelas z e v^2/(2g) são independentes do fluido (são alturas geométricas e cinéticas), mas a parcela de pressão p/(\rho g) depende da densidade escolhida. Para obter os metros de coluna d’água, calculamos
    \frac{p_{\text{ponto}}}{\rho_{\mathrm{w}} g} = \frac{77\,628}{1000\cdot 9{,}81}.
    O denominador é 1000\cdot 9{,}81 = 9\,810. Então
    \frac{p_{\text{ponto}}}{\rho_{\mathrm{w}} g}\approx \frac{77\,628}{9\,810}\approx 7{,}91\\ \mathrm{m\\ (água)}.á
  • Então a altura total em metros de coluna d’água é:
    H_{\text{(água)}} = \frac{p}{\rho_{\mathrm{w}} g} + z + \frac{v^2}{2g} = 7{,}91 + (-1{,}20) + 0{,}906.á
    Calculando:
    H_{\text{(água)}} \approx 7{,}91 - 1{,}20 + 0{,}906 = 7{,}616\\ \mathrm{m}.á
Arredondando:
H_{\text{(água)}} \approx 7{,}62\\ \mathrm{m\\ (m.c.a.)}.á
Breve verificação: nota-se que H_{\text{(água)}}á é menor que H_{\text{(óleo)}}ó porque a mesma pressão corresponde a menos metros de água do que de óleo quando a densidade do óleo é menor que a da água — atenção à interpretação: a parcela de pressão em metros reduz-se quando se usa a água como referência (porque \rho_{\mathrm{w}}>\rho_{\mathrm{o}}).

Passo 7

Resumo final e comentário prático (um empurrãozinho motivacional): portanto, com a leitura do vacuômetro e os dados fornecidos, a altura total de carga no ponto, referida ao plano da bomba, é cerca de 9{,}02\\ \mathrm{m} quando expressa em metros de coluna de óleo e cerca de 7{,}62\\ \mathrm{m} quando expressa em metros de coluna d’água. Boa! Já dominou a conversão de depressão em pressão, a conversão em cabeça e a inclusão do termo cinético — passos que são sempre úteis em problemas de sucção de bombas.

Resposta

a) H_{\text{(óleo)}} \approx 9{,}02\\ \mathrm{m\\ (m.c.\\ óleo)}óó
b) H_{\text{(água)}} \approx 7{,}62\\ \mathrm{m\\ (m.c.a.)}á

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