Determine a intensidade da força resultante \mathbf{F}_{R}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2} e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo u positivo.
2.2 Decomponha \mathbf{F}_{1} em componentes ao longo dos eixos u e v, e determine suas intensidades.
2.3. Decomponha \mathbf{F}_{2} em componentes ao longo dos eixos u e v, e determine suas intensidades.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (2.1) Determinar a intensidade da força resultante \mathbf{F}_{R}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{2} e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo u positivo.
  2. (2.2) Decompor \mathbf{F}_{1} em componentes ao longo dos eixos u e v e determinar suas intensidades.
  3. (2.3) Decompor \mathbf{F}_{2} em componentes ao longo dos eixos u e v e determinar suas intensidades.
Informações dadas no enunciado recebido: nenhuma (não foram fornecidos valores numéricos para as magnitudes de \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2}, nem ângulos, nem coordenadas, nem figura que mostre a orientação dos vetores e dos eixos). Portanto, com os dados atuais não é possível calcular valores numéricos.

Passo 2

O que falta exatamente e por que é necessário:
  • Para decompor um vetor e somar vetores precisamos saber, para cada força, pelo menos uma destas representações:
    • a magnitude F e o ângulo \theta medido a partir do eixo u (informando se o ângulo é medido no sentido horário ou anti-horário), OU
    • as componentes já expressas nos eixos u e v (ou coordenadas).
  • Também é importante saber a orientação relativa entre os eixos u e v (normalmente assumimos que são ortogonais, com v obtido a partir de u por rotação de 90^\circ no sentido anti-horário — vou assumir isso adiante; se a sua figura usar outra convenção, é preciso informá-la).
    Sem esses dados numéricos não há como calcular números finais.

Passo 3

Método geral (didático, passo a passo) — assumindo que os eixos u e v são ortogonais e que o eixo v é o resultante de rotacionar o eixo u em +90^\circ (sentido anti-horário). Explico as fórmulas e o raciocínio para você aplicar na prova.
  1. Como decompor um vetor de magnitude e ângulo (regra e por quê)
  • Suponha um vetor qualquer com magnitude F e cujo ângulo \theta é medido no sentido horário a partir do eixo u positivo (isto é o pedido no enunciado).
  • Para usar trigonometria com as funções usuais (que tomam como positivo o sentido anti-horário), note que um ângulo \theta medido no sentido horário corresponde ao ângulo -\theta medido no sentido anti-horário. Por isso:
    • componente ao longo de u: \;F_{u}=F\cos(-\theta)=F\cos\theta.
    • componente ao longo de v: \;F_{v}=F\sin(-\theta)=-F\sin\theta.
  • Interpretação: \cos\theta dá a projeção na direção u. O sinal da componente em v vem do fato de que um ângulo horário aponta para baixo do eixo v (supondo v positivo para cima, isto é, sentido anti-horário a partir de u) — por isso o menos.
Observação prática: escreva sempre o que cada símbolo significa:
  • F = magnitude do vetor (em N, por exemplo).
  • \theta = ângulo medido no sentido horário a partir do eixo u positivo (em graus ou radianos).
  • F_{u} e F_{v} = componentes escalares nas direções u e v.
  1. Se o ângulo for dado no sentido anti-horário, as fórmulas mudam para
  • \;F_{u}=F\cos\theta
  • \;F_{v}=F\sin\theta
    (cuidado: sempre verifique a convenção do enunciado; aqui estamos trabalhando com a convenção pedida — ângulo horário — e mostramos a conversão).
  1. Soma vetorial e intensidade da resultante
  • Decomponha \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} em componentes: \mathbf{F}_{1} \to (F_{1u},\,F_{1v}),\qquad \mathbf{F}_{2} \to (F_{2u},\,F_{2v}).
  • Componentes da resultante \mathbf{F}_{R} são as somas das componentes: F_{Ru}=F_{1u}+F_{2u},\qquad F_{Rv}=F_{1v}+F_{2v}.
  • Intensidade (magnitude) da resultante: \|\mathbf{F}_{R}\|=\sqrt{F_{Ru}^{2}+F_{Rv}^{2}}.
Explicação: isso vem do teorema de Pitágoras no triângulo formado pelas componentes ortogonais.
  1. Direção da resultante medida no sentido horário a partir do eixo u positivo
  • Primeiro calcule o ângulo padrão \varphi medido no sentido anti-horário a partir de +u: \varphi=\operatorname{atan2}(F_{Rv},\,F_{Ru}).Onde \operatorname{atan2}(y,x) retorna o ângulo correto considerando o quadrante (é a função arco-tangente dois-argumentos). Aqui y=F_{Rv} e x=F_{Ru}.
  • Como queremos o ângulo medido no sentido horário a partir de +u, chamemos esse ângulo de \theta_{R}. Então: \theta_{R}=-\varphi.Em prática de provas, costuma-se converter para um valor em [0^\circ,360^\circ) usando: \theta_{R} = \bigl(360^\circ-\phi_{\text{em graus}}\bigr)\bmod 360^\circ.
  • Observação sobre sinais e quadrantes: usar \operatorname{atan2} evita ambiguidades com o sinal de F_{Ru} e F_{Rv}. Se sua calculadora não tem \operatorname{atan2}, determine o quadrante a partir dos sinais de F_{Ru} e F_{Rv} e ajuste o ângulo obtido por \arctan(|F_{Rv}/F_{Ru}|) conforme necessário.

Passo 4

Procedimento passo a passo que você deve aplicar na prova (sem calcular nada porque faltam dados):
  1. Para \mathbf{F}_{1}: se tiver F_{1} e \theta_{1} (horário a partir de u): F_{1u}=F_{1}\cos\theta_{1},\qquad F_{1v}=-F_{1}\sin\theta_{1}.
  2. Para \mathbf{F}_{2}: se tiver F_{2} e \theta_{2} (horário a partir de u): F_{2u}=F_{2}\cos\theta_{2},\qquad F_{2v}=-F_{2}\sin\theta_{2}.
  3. Some componentes para obter a resultante: F_{Ru}=F_{1u}+F_{2u},\qquad F_{Rv}=F_{1v}+F_{2v}.
  4. Calcule a intensidade: \|\mathbf{F}_R\|=\sqrt{F_{Ru}^{2}+F_{Rv}^{2}}.
  5. Calcule o ângulo da resultante no sentido horário: \varphi=\operatorname{atan2}(F_{Rv},F_{Ru}),\qquad \theta_{R}=-\varphi.(Converta para um valor entre 0^\circ e 360^\circ se solicitado.)

Passo 5

Exemplo ilustrativo (apenas para treinar o método; não resolve o seu enunciado porque são números inventados):
  • Suponha que \,F_{1}=10 N com \theta_{1}=30^\circ (horário a partir de u) e \,F_{2}=15 N com \theta_{2}=120^\circ (horário a partir de u).
  • Decomposição: F_{1u}=10\cos 30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}, \qquad F_{1v}=-10\sin 30^\circ=-10\cdot\frac{1}{2}=-5.
F_{2u}=15\cos 120^\circ=15\cdot(-\tfrac{1}{2})=-7{,}5, \qquad F_{2v}=-15\sin 120^\circ=-15\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\tfrac{15\sqrt{3}}{2}.
  • Soma: F_{Ru}=5\sqrt{3}-7{,}5,\qquad F_{Rv}=-5-\tfrac{15\sqrt{3}}{2}.
  • Intensidade e direção seguem pelas fórmulas do passo anterior. (Aqui eu mostrei como fazer as contas; na sua prova faça o mesmo com os números que o enunciado der.)

Passo 6

Resumo: eu mostrei todo o passo a passo e as fórmulas necessárias para que você resolva (2.1), (2.2) e (2.3) na prova. Falta apenas aplicar as fórmulas aos valores numéricos do seu exercício (magnitudes e ângulos ou componentes). Se quiser, me mande a figura ou os valores numéricos que aparecem no enunciado e eu faço as contas detalhadas passo a passo, explicando cada etapa como fiz aqui — vai dar tudo certo, respira fundo!

Resposta

(2.1) Não é possível determinar numericamente a intensidade e a direção de \mathbf{F}_{R} — faltam as magnitudes e/ou ângulos (ou as componentes) de \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2} ou a figura com esses dados.
(2.2) Não é possível determinar numericamente as componentes de \mathbf{F}_{1} — falta a magnitude de \mathbf{F}_{1} e o ângulo associado (ou suas componentes).
(2.3) Não é possível determinar numericamente as componentes de \mathbf{F}_{2} — falta a magnitude de \mathbf{F}_{2} e o ângulo associado (ou suas componentes).

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