Questão 2 (3 pontos): Para que um bebedouro resfrie água com uma dada vazão \dot{m} proveniente de uma caixa d’água a 30^{\circ} \mathrm{C} até os desejados 15^{\circ} \mathrm{C} para o consumo é necessário remover calor a uma taxa de 1,5 \mathrm{~kW}.
Determine: (a) a potência que deve ser entregue ao bebedouro em forma de trabalho; e
(b) a potência que é dissipada para o ambiente.
Considerar que este ciclo opera segundo um ciclo de refrigeração com eficiência \beta=3.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede os itens indicados:
  • A taxa de calor que deve ser removida da água é \dot{Q}_{L}=1,5\\ \mathrm{kW}.
  • A água entra a 30^\circ\mathrm{C} e sai a 15^\circ\mathrm{C} (essa informação serve para entendimento físico, mas o valor numérico do fluxo de massa \dot{m} não é fornecido nem é necessário aqui).
  • A eficiência (coeficiente de desempenho) do ciclo de refrigeração é \beta=3.
    O enunciado pede:
    (a) a potência de trabalho que deve ser entregue ao bebedouro (ou seja, o trabalho por unidade de tempo \dot{W}_{\mathrm{in}});
    (b) a potência dissipada para o ambiente (ou seja, a taxa de calor rejeitada \dot{Q}_{H}).

Passo 2

Primeiro, entender o que é esse \beta. Para um ciclo de refrigeração convencional define-se o coeficiente de desempenho como a razão entre a taxa de calor removida do espaço frio e a potência de trabalho necessária para fazê-lo:
\beta=\frac{\dot{Q}_{L}}{\dot{W}_{\mathrm{in}}}.
Aqui:
  • \dot{Q}_{L} é a taxa de calor retirada da água (em \mathrm{kW});
  • \dot{W}_{\mathrm{in}} é a potência de trabalho que o refrigerador recebe (em \mathrm{kW});
  • \beta é adimensional.
Essa definição vem da convenção de que dispositivos de refrigeração usam trabalho para “puxar” calor do reservatório frio.

Passo 3

Isolar \dot{W}_{\mathrm{in}} na expressão do coeficiente de desempenho:
\dot{W}_{\mathrm{in}}=\frac{\dot{Q}_{L}}{\beta}.
Substituindo os valores dados:
\dot{W}_{\mathrm{in}}=\frac{1,5\\ \mathrm{kW}}{3}=0,5\\ \mathrm{kW}.
Interpretação rápida: para cada 3 unidades de calor removidas é necessário 1 de trabalho; logo para 1,5\\ \mathrm{kW} removidos precisa-se de 0,5\\ \mathrm{kW} de trabalho.

Passo 4

Usar a primeira lei (balanço de energia) para o ciclo em regime permanente: a potência rejeitada ao ambiente \dot{Q}_{H} é a soma da potência removida do frio com a potência de trabalho fornecida, porque todo o trabalho acaba sendo dissipado como calor ao reservatório quente:
\dot{Q}_{H}=\dot{Q}_{L}+\dot{W}_{\mathrm{in}}.
Substituindo os valores conhecidos:
\dot{Q}_{H}=1,5\\ \mathrm{kW}+0,5\\ \mathrm{kW}=2,0\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Checagem rápida: a razão \dfrac{\dot{Q}_{L}}{\dot{W}_{\mathrm{in}}}=\dfrac{1,5}{0,5}=3 volta a dar \beta, portanto os cálculos estão consistentes. Respira fundo — problema resolvido!

Resposta

(a) \dot{W}_{\mathrm{in}}=0,5\\ \mathrm{kW}
(b) \dot{Q}_{H}=2,0\\ \mathrm{kW}

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