A água pode ser determinada em amostras sólidas por espectroscopia no infravermelho. O conteúdo de água do sulfato de cálcio hidratado deve ser medido empregando-se carbonato de cálcio como padrão interno para compensar alguns erros sistemáticos do procedimento. Uma série de soluções padrão contendo sulfato de cálcio diidratado e uma quantidade constante conhecida do padrão interno é preparada. A solução com conteúdo desconhecido de água também é preparada contendo a mesma quantidade do padrão interno. A absorbância do composto diidratado é medida em um comprimento de onda (
) juntamente com aquela do padrão interno em outro comprimento de onda (
). Os seguintes resultados foram obtidos.
% de Água
0,15
0,75
4,0
0,23
0,60
8,0
0,19
0,31
12,0
0,57
0,70
16,0
0,43
0,45
20,0
0,37
0,47
Desconhecida
Construa um gráfico da absorbância da amostra (
) versus % de água e determine se o gráfico é linear a partir da regressão estatística.
|
|
% de Água |
0,15 | 0,75 | 4,0 |
0,23 | 0,60 | 8,0 |
0,19 | 0,31 | 12,0 |
0,57 | 0,70 | 16,0 |
0,43 | 0,45 | 20,0 |
0,37 | 0,47 | Desconhecida |
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente monte um gráfico de absorbância da amostra (A<sub>amostra</sub>) versus o % de água e veja se rola uma relação linear usando regressão estatística. Estamos em Química Analítica, mais especificamente em curvas de calibração e regressão linear. Para resolver vai cair bem:
• Organizar os pares (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>) com x=% de água e y=A<sub>amostra</sub>.
• Calcular média de x e de y.
• Usar as fórmulas da regressão linear:
– coeficiente angular (slope) m = Σ(x<sub>i</sub>–x̄)(y<sub>i</sub>–ȳ)/Σ(x<sub>i</sub>–x̄)²
– intercepto b = ȳ – m·x̄
– coeficiente de determinação R² = 1 – Σ(resíduos²)/Σ(y<sub>i</sub>–ȳ)²
• A partir de R² determinar se é linear (R²≈1).
• Organizar os pares (x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>) com x=% de água e y=A<sub>amostra</sub>.
• Calcular média de x e de y.
• Usar as fórmulas da regressão linear:
– coeficiente angular (slope) m = Σ(x<sub>i</sub>–x̄)(y<sub>i</sub>–ȳ)/Σ(x<sub>i</sub>–x̄)²
– intercepto b = ȳ – m·x̄
– coeficiente de determinação R² = 1 – Σ(resíduos²)/Σ(y<sub>i</sub>–ȳ)²
• A partir de R² determinar se é linear (R²≈1).
Passo 2
Anota a tabela só com os padrões (n=5):
x₁=4, y₁=0,15
x₂=8, y₂=0,23
x₃=12,y₃=0,19
x₄=16,y₄=0,57
x₅=20,y₅=0,43
x₁=4, y₁=0,15
x₂=8, y₂=0,23
x₃=12,y₃=0,19
x₄=16,y₄=0,57
x₅=20,y₅=0,43
Passo 3
Calcula as médias:
x̄ = (4+8+12+16+20)/5 = 60/5 = 12
ȳ = (0,15+0,23+0,19+0,57+0,43)/5 = 1,57/5 = 0,314
x̄ = (4+8+12+16+20)/5 = 60/5 = 12
ȳ = (0,15+0,23+0,19+0,57+0,43)/5 = 1,57/5 = 0,314
Passo 4
Agora Σ(x<sub>i</sub>–x̄)(y<sub>i</sub>–ȳ) e Σ(x<sub>i</sub>–x̄)²:
Para cada ponto:
i=1: (4–12)=–8 ; (0,15–0,314)=–0,164 ; produto=1,312
i=2: –4 ; –0,084 ; produto=0,336
i=3: 0 ; –0,124; produto=0
i=4: 4 ; 0,256; produto=1,024
i=5: 8 ; 0,116; produto=0,928
i=1: (4–12)=–8 ; (0,15–0,314)=–0,164 ; produto=1,312
i=2: –4 ; –0,084 ; produto=0,336
i=3: 0 ; –0,124; produto=0
i=4: 4 ; 0,256; produto=1,024
i=5: 8 ; 0,116; produto=0,928
Σ(x–x̄)(y–ȳ)=1,312+0,336+0+1,024+0,928=3,6
Σ(x–x̄)²=64+16+0+16+64=160
Σ(x–x̄)²=64+16+0+16+64=160
Passo 5
Coeficiente angular (slope) m:
Intercepto b:
Logo a reta é
Passo 6
Calcula R² pra ver a “bondade de ajuste”. Primeiro soma dos quadrados totais:
Σ(y–ȳ)²=0,026896+0,007056+0,015376+0,065536+0,013456=0,12832
Σ(y–ȳ)²=0,026896+0,007056+0,015376+0,065536+0,013456=0,12832
Resíduos y<sub>i</sub>–ŷ<sub>i</sub> (ŷ<sub>i</sub>=m·x<sub>i</sub>+b):
i=1: ŷ=0,0225·4+0,044=0,134 → res=0,15–0,134=0,016
i=2: 0,264 → –0,034
i=3: 0,314 → –0,124
i=4: 0,404 → 0,166
i=5: 0,494 → –0,064
i=1: ŷ=0,0225·4+0,044=0,134 → res=0,15–0,134=0,016
i=2: 0,264 → –0,034
i=3: 0,314 → –0,124
i=4: 0,404 → 0,166
i=5: 0,494 → –0,064
Σ(resíduos²)=0,000256+0,001156+0,015376+0,027556+0,004096=0,04844
Então
Resposta
A reta de calibração ficou
mas o coeficiente de determinação R²≈0,62 indica que não há boa linearidade.