Água a uma taxa de 0,8 kg / s a 90^circ C flui através de um tubo de aço com diâmetro interno de 25 mm e diâmetro externo de 30 mm OD. A temperatura da superfície externa do tubo é de 84^circ C e a temperatura do ar circundante é de 20^circ C. A pressão na sala é de 1 atm e o tubo tem 15 m de comprimento. Quanto calor é perdido por convecção livre na sala? Dados:
R=823 W
N u & =0.53(G r Pr)^0.25 for 10^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve perda de calor por convecção livre em um tubo de aço. O que a gente precisa fazer aqui é calcular quanto calor está sendo perdido para o ambiente devido à diferença de temperatura entre a superfície externa do tubo e o ar ao redor. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção, especialmente envolvendo os números de Grashof e Prandtl, além do número de Nusselt para encontrar o coeficiente de convecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convecção livre. É o processo pelo qual o calor é transferido de uma superfície para o fluido ao redor sem a ajuda de forças externas, como um ventilador. A transferência depende da diferença de temperatura entre a superfície e o ar, das propriedades do ar e das dimensões do tubo.

Passo 3

Vamos começar calculando o número de Grashof (Gr), que mede a relação entre as forças de flutuação (causadas pela diferença de densidade devido à aquecimento) e as forças viscosas no fluido. A fórmula para Gr é:
Gr = g beta (Ts - Tinfty) D^3nu^2
onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( g ),
  • $ \beta $ é o coeficiente de expansão térmica ($ \beta = \frac{1}{T_\infty} $ para gases ideais),
  • $ T_s $ é a temperatura da superfície externa do tubo ( 9.81 , m/s^2),
  • $ T_\infty $ é a temperatura do ar ambiente ( beta ),
  • $ D $ é o diâmetro externo do tubo ( beta = 1Tinfty ),
  • $ \nu $ é a viscosidade cinemática do ar.
Antes de calcular, precisamos encontrar $ \beta $ e $ \nu $. Para ar em condições constantes, $ \beta \approx \frac{1}{T_\infty} = \frac{1}{293} , K^{-1} $.
A viscosidade cinemática $ \nu $ pode ser calculada usando a viscosidade dinâmica $ \mu $ e a densidade $ \rho $:
Ts

Passo 4

Agora, vamos calcular o número de Grashof:
Gr = 9.81 times 1293 times (357 - 293) times (0.03)^3(1.804 times 10^-5)^2
Primeiro, calculemos cada parte:
De
Gr = 9.81 times 0.00341 times 64 times 2.7 times 10^-53.255 times 10^-10 approx 5.365 times 10^-33.255 times 10^-10 approx 1.648 times 10^7

Passo 5

Em seguida, calculamos o número de Prandtl (Pr), que é a relação entre a viscosidade cinemática e a difusividade térmica. A fórmula é:
Pr = nualpha
Onde $ \alpha $ é a difusividade térmica, que pode ser encontrada por:
alpha
Dados fornecidos:
  • $ k_f = 0.02813 , W/m·K $,
  • $ \rho = 1.0877 , kg/m^3 $,
  • $ C_p = 1.0073 , kJ/kg·K = 1007.3 , J/kg·K $.
Calculando $ \alpha $:
alpha = kfrho Cp
Agora, o Prandtl:
kf = 0.02813 , W/m·K

Passo 6

Com Gr e Pr calculados, vamos multiplicá-los para obter $ Gr \times Pr $:
Gr times Pr
Agora, precisamos verificar em qual faixa de validade se encontra esse valor para escolher a correlação correta do número de Nusselt (Nu):
  • $ 10^{4} < Gr \times Pr < 10^{9} $ usamos $ Nu = 0.53 (Gr \times Pr)^{0.25} $
  • $ 10^{9} < Gr \times Pr < 10^{12} $ usamos $ Nu = 0.10 (Gr \times Pr)^{1/3} $
Nosso valor é Gr times Pr = 1.648 times 10^7 times 0.700 approx 1.154 times 10^7 , que está entre 10^4 < Gr times Pr < 10^9 e Nu = 0.53 (Gr times Pr)^0.25 .

Passo 7

Agora, calculamos o número de Nusselt usando a correlação adequada:
Nu = 0.53 (Gr times Pr)^0.25 = 0.53 (1.154 times 10^7)^0.25
Primeiro, calculamos $ (1.154 \times 10{7}){0.25} $:
(1.154 times 10^7)^0.25
Então:
(1.154 times 10^7)^0.25 approx 158.5

Passo 8

Com o número de Nusselt, podemos encontrar o coeficiente de convecção $ h $ usando a fórmula:
h
Isolando $ h $:
Nu = h Dkf

Passo 9

Agora, para encontrar a perda de calor por convecção, usamos a fórmula:
Q = h A De
Onde:
  • $ A $ é a área externa do tubo,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre a superfície externa e o ar ( A ).
Calculamos $ A $:
De
Então:
84^circ C - 20^circ C = 64 , K

Resposta

A perda de calor por convecção livre na sala é de aproximadamente 7.150 W.

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