Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x, y)=3 raiz9 x^2+16 y^4+2(ln (3 x+6 y))
no ponto P=(3,0, f(3,0)),
Escolha uma opção:
a. z+(27+2 ln (9))=293(x-3)+43 y
b. z-(27+2 ln (9))=293(x+3)+29 y
c. z+(27+2 ln (9))=293(x-3)+29 y
d. z-(27+2 ln (9))=293(x+3)+43 y
e. Não existe o plano tangente
f. z-(27+2 ln (9))=293(x-3)+29 y
g. z-(27+2 ln (9))=293(x-3)+43 y
Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x, y)=3 raiz9 x^2+16 y^4+2(ln (3 x+6 y))
no ponto $ P = (3, 0, f(3, 0)) $. Para resolver isso, vamos usar Cálculo Diferencial, mais especificamente, as derivadas parciais para encontrar a inclinação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor de $ f(3, 0) $ para conhecer a coordenada $ z $ do ponto $ P $.
f(3, 0)
z
P
Então, $ P = (3, 0, 27 + 2 \ln(9)) $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, $ f_x $ e $ f_y $.
Derivada Parcial em relação a $ x $:
f
x
y
Derivada Parcial em relação a $ y $:
fx
fy
x

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas parciais no ponto $ (3, 0) $:
Para $ f_x(3, 0) $:
(3, 0)
fx(3, 0)
Para $ f_y(3, 0) $:
fx(3, 0) = 27 times 3raiz9(3)^2 + 16(0)^4 + 63 times 3 + 6 times 0
fx(3, 0) = 81raiz81 + 69 = 819 + 23 = 9 + 23 = 293

Passo 5

Com os valores de $ f(3, 0) $, $ f_x(3, 0) $ e $ f_y(3, 0) $, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
f(3, 0)
Substituindo $ a = 3 $, $ b = 0 $:
fx(3, 0)
fy(3, 0)
Rearranjando para a forma padrão:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)

Resposta

A equação do plano tangente é:
z - (27 + 2 ln(9)) = 293(x - 3) + 43 y
Logo, a opção correta é a letra g.

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