Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando $ x $ vai para menos infinito da expressão $ \frac{\sqrt{x^{6}-5}}{5 x^{2}-1} $. Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito envolvendo radicais e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos principais do numerador e do denominador. No numerador, temos $ \sqrt{x^{6}-5} $ e no denominador $ 5x^{2}-1 $. Quando $ x $ tende para infinito ou menos infinito, os termos com os maiores poderes de $ x $ dominam o comportamento da função.
Passo 3
No numerador, $ x^{6} $ é o termo de maior grau dentro da raiz. Podemos fatorar $ x^{6} $ de dentro da raiz para simplificar:
Como $ x $ está tendendo para menos infinito, $ x^{3} $ será negativo, então $ |x^{3}| = -x^{3} $.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a expressão original substituindo o numerador simplificado:
Em seguida, dividimos o numerador e o denominador pelo termo de maior grau presente no denominador, que é $ x^{3} $:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de cada parte quando $ x $ tende para menos infinito:
- $ \frac{5}{x} $ tende para 0.
- $ \frac{1}{x^{3}} $ também tende para 0.
- $ \sqrt{1 - \frac{5}{x^{6}}} $ tende para $ \sqrt{1 - 0} = 1 $.
Substituindo esses limites na expressão, temos:
Esse limite indica que a expressão tende para menos infinito.
Resposta
O limite é $ -\infty $.