lim x -infty raizx^6-55 x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando $ x $ vai para menos infinito da expressão $ \frac{\sqrt{x^{6}-5}}{5 x^{2}-1} $. Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito envolvendo radicais e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos principais do numerador e do denominador. No numerador, temos $ \sqrt{x^{6}-5} $ e no denominador $ 5x^{2}-1 $. Quando $ x $ tende para infinito ou menos infinito, os termos com os maiores poderes de $ x $ dominam o comportamento da função.

Passo 3

No numerador, $ x^{6} $ é o termo de maior grau dentro da raiz. Podemos fatorar $ x^{6} $ de dentro da raiz para simplificar:
x^6
Como $ x $ está tendendo para menos infinito, $ x^{3} $ será negativo, então $ |x^{3}| = -x^{3} $.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão original substituindo o numerador simplificado:
raizx^6-55x^2-1 = -x^3raiz1 - 5x^65x^2-1
Em seguida, dividimos o numerador e o denominador pelo termo de maior grau presente no denominador, que é $ x^{3} $:
x^3

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada parte quando $ x $ tende para menos infinito:
  • $ \frac{5}{x} $ tende para 0.
  • $ \frac{1}{x^{3}} $ também tende para 0.
  • $ \sqrt{1 - \frac{5}{x^{6}}} $ tende para $ \sqrt{1 - 0} = 1 $.
Substituindo esses limites na expressão, temos:
x
Esse limite indica que a expressão tende para menos infinito.

Resposta

O limite é $ -\infty $.

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