Ainda com o problema anterior em mente, agora suponha que um próton se encontra confinado dentro de uma determinada região do núcleo de um átomo, que pode ser modelada como um poço de potencial infinito.
a) Qual deve ser a largura
desta região para que a energia do nível fundamental deste próton seja igual a
, valor típico da energia de ligação destas partículas no interior do núcleo? Compare o resultado com o tamanho de um núcleo, que é da ordem de
.
b) Qual seria a energia do estado fundamental de um elétron caso ele substituísse um próton dentro do núcleo do átomo? Conclua agora por que os prótons, não os elétrons, formam os núcleos atômicos, juntamente com os nêutrons.
a) Qual deve ser a largura
b) Qual seria a energia do estado fundamental de um elétron caso ele substituísse um próton dentro do núcleo do átomo? Conclua agora por que os prótons, não os elétrons, formam os núcleos atômicos, juntamente com os nêutrons.
Passo 1
O enunciado pede que a gente modele um próton confinado num poço de potencial infinito unidimensional de largura
e determine
de modo que a energia do nível fundamental valha
. Em seguida, quer saber qual seria a energia desse nível se, no mesmo poço, o “inquilino” fosse um elétron. O conteúdo é mecânica quântica – partícula numa caixa.
Passo 2
Na mecânica quântica, o nível fundamental
de uma partícula de massa
num poço infinito de largura
tem energia
Isolando
a partir de
obtemos
Passo 3
Para o próton usamos
,
e convertemos
Logo,
e convertemos
Logo,
Esse valor está na casa de alguns femtômetros, da mesma ordem de magnitude
do tamanho típico de um núcleo.
Passo 4
Para o elétron, mantemos o mesmo
e trocamos apenas
por
. Como
, vale
Essa energia, da ordem de
, é absurdamente maior que as balísticas nucleares (alguns MeV). Por isso elétrons não se acomodam no núcleo — exigiriam energia de confinamento muito alta — e os constituintes são prótons e nêutrons.
Resposta
a)
, valor comparável ao raio nuclear
.
b) . Elétrons teriam energia de confinamento excessivamente alta, daí só prótons e nêutrons formarem o núcleo.
b)