Para uma partícula em um poço quadrado infinito é correto dizer que cada estado com energia bem definida é também um estado com comprimento de onda bem definido? Ele também é um estado com momento linear bem definido? Dica: lembre-se que o momento linear é um vetor: \vec{p}=m \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre uma partícula num poço quadrado infinito unidimensional de comprimento L. Sabemos que os autovalores de energia são
E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2},\quad n=1,2,3,\dots
e os autovetores (autofunções) associados são
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr).
Queremos verificar se esses estados têm comprimento de onda bem definido e se são estados de momento linear bem definido.

Passo 2

Para cada n, a função de onda \psi_n(x) é um modo estacionário que pode ser vista como combinação de duas ondas viajantes de mesma magnitude de número de onda k_n mas sentidos opostos. O número de onda é
k_n = \frac{n\pi}{L},
logo o comprimento de onda associado (pela relação de De Broglie) é
\lambda_n = \frac{2\pi}{k_n} = \frac{2L}{n}.
Isso mostra que o módulo de k, e portanto o módulo de \lambda, está bem definido em cada autofunção de energia.

Passo 3

Por outro lado, o operador momento em 1D é
\hat p = -\,i\hbar \,\frac{d}{dx}.
Se aplicarmos \hat p em \psi_n(x) obtemos a combinação
\hat p\,\psi_n(x)\propto \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)
que não é proporcional a \psi_n(x) (que é \sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)). Isso significa que \psi_n não é autofunção de \hat p.

Passo 4

Fisicamente, cada \psi_n equivale a uma superposição de duas ondas de momento \pm p_n, com
p_n = \hbar k_n = \frac{\hbar n\pi}{L}.
Logo o módulo do momento está bem definido (pois \langle p^2\rangle = p_n^2), mas o sinal (o sentido do vetor \vec p) fica completamente indefinido. Consequentemente \langle p\rangle=0 e \Delta p\neq0.

Resposta

Cada estado de energia bem definido no poço infinito tem um comprimento de onda (módulo) \lambda_n = 2L/n bem definido, mas não é um estado de momento linear bem definido, pois não é autofunção de \hat p e constitui superposição de +p_n e -p_n.

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