Um elétron oscila entre as extremidades de um nanotubo de carbono que funciona como antena de um nanoradio. Neste cenário o elétron não tem como ser ejetado do nanotubo e então o problema pode ser modelado como um poço de potencial infinito. Se o nanotubo tem comprimento L, mostre que a velocidade média do elétron pode ser escrita como:
v=\frac{n h}{2 m L}

Passo 1

O enunciado diz que o elétron está confinado num poço de potencial infinito de largura L. O conteúdo físico aqui é o modelo de partícula numa “caixa” unidimensional: a função de onda forma ondas estacionárias, levando à quantização do comprimento de onda. Para achar a velocidade média, vamos precisar das seguintes ideias:
  1. Condição de onda estacionária numa caixa: L = n\,\tfrac{\lambda}{2}.
  2. Relação de de Broglie: p = \tfrac{h}{\lambda}.
  3. Relação clássica entre momento e velocidade: v = \tfrac{p}{m}.

Passo 2

A condição de onda estacionária exige que a função de onda tenha nós nas paredes em x=0 e x=L. Logo, o comprimento de onda \lambda deve satisfazer
L = n\,\frac{\lambda}{2},
onde n é inteiro positivo. Dessa igualdade segue
\lambda = \frac{2L}{n}.

Passo 3

Pelo postulado de de Broglie, o módulo do momento p associado à onda de comprimento \lambda é
p = \frac{h}{\lambda}.
Substituindo \lambda = \tfrac{2L}{n}, obtemos
p = \frac{h}{2L/n} = \frac{n\,h}{2L}.

Passo 4

Em mecânica clássica (válida para relacionar momento e velocidade), temos
v = \frac{p}{m}.
Substituindo p = \tfrac{n\,h}{2L} resulta
v = \frac{1}{m}\,\frac{n\,h}{2L} = \frac{n\,h}{2\,m\,L}.

Resposta

v = \frac{n\,h}{2\,m\,L}.

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