Um elétron oscila entre as extremidades de um nanotubo de carbono que funciona como antena de um nanoradio. Neste cenário o elétron não tem como ser ejetado do nanotubo e então o problema pode ser modelado como um poço de potencial infinito. Se o nanotubo tem comprimento
, mostre que a velocidade média do elétron pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado diz que o elétron está confinado num poço de potencial infinito de largura
. O conteúdo físico aqui é o modelo de partícula numa “caixa” unidimensional: a função de onda forma ondas estacionárias, levando à quantização do comprimento de onda. Para achar a velocidade média, vamos precisar das seguintes ideias:
- Condição de onda estacionária numa caixa:
. - Relação de de Broglie:
. - Relação clássica entre momento e velocidade:
.
Passo 2
A condição de onda estacionária exige que a função de onda tenha nós nas paredes em
e
. Logo, o comprimento de onda
deve satisfazer
onde
é inteiro positivo. Dessa igualdade segue
Passo 3
Pelo postulado de de Broglie, o módulo do momento
associado à onda de comprimento
é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Em mecânica clássica (válida para relacionar momento e velocidade), temos
Substituindo
resulta