Aintegral \int \frac{x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}} d x é:
Escolha uma opção:
◯ a. x-2 \ln |x+1|+C
◯ b. \ln x^{2}-\ln |x+1|+3(x-1)^{2}+C
◯ c. \frac{2}{3} x^{3}-\ln x^{2}+\ln |x+1|+C
◯ d. \frac{1}{2} \ln |x|+\frac{1}{2 x}-\ln |x+1|+C
◯ e. \quad 2 \ln |x|+\frac{2}{x}-\ln |x+1|+C

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}-2}{x^{3}+x^{2}}\,dx
e escolher a opção correta entre (a)–(e). As informações dadas são exatamente a expressão do integrando e a lista de alternativas.

Passo 2

Primeiro observo e fatoro o denominador para ver a estrutura da fração racional:
x^{3}+x^{2}=x^{2}(x+1).
Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), a fração é própria e posso usar frações parciais. Para o fator x^{2} (raiz x=0 de multiplicidade 2) e o fator linear x+1 a decomposição apropriada é
\frac{x^{2}-2}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explico por que: para uma potência x^{2} precisa-se de termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}; para um fator linear simples (x+1) usa-se \dfrac{C}{x+1}.

Passo 3

Multiplico a igualdade pela x^{2}(x+1)\) para eliminar denominadores: \[x^{2}-2 = A x(x+1) + B(x+1) + C x^{2}.
Agora acho conveniente expandir o lado direito:
A x(x+1) + B(x+1) + C x^{2} = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
x^{2}-2 = (A+C)\,x^{2} + (A+B)\,x + B.
Igualando coeficientes dos polinômios obtemos o sistema
\begin{cases} 1 = A + C,\\[4pt] 0 = A + B,\\[4pt] -2 = B. \end{cases}
Da terceira equação vem B=-2\]. Da segunda, \(A+B=0 implica A=2. Da primeira, 1=A+C implica C=1-A=1-2=-1.]

Passo 4

Substituindo A,B,C na decomposição temos
\frac{x^{2}-2}{x^{2}(x+1)}=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x+1}.
Agora integro termo a termo. Lembretes úteis:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1; em particular \displaystyle \int x^{-2}\,dx=-x^{-1}+C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C.
Aplicando:
\int \left(\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x| -2\left(-\frac{1}{x}\right) - \ln|x+1| + C.
Simplificando o termo do meio dá \dfrac{2}{x}. Assim a primitiva é
2\ln|x|+\frac{2}{x}-\ln|x+1|+C.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão obtida coincide com a alternativa (e).

Resposta

(e)

Exercícios relacionados