Sabendo que f^{\prime}(x)=x e^{2 x} e f(0)=0, calcule f(1).
Escolha uma opção:
◯ a. \frac{2 e^{3}+1}{9}
◯ b. \frac{e^{3}+1}{9}
◯ c. \frac{2 e^{3}}{3}
◯ d. \frac{3 e^{3}+1}{9}
◯ e. \frac{e^{3}}{3}

Passo 1

O enunciado dá:
  • f'(x)=x e^{2x}.
  • Condição inicial f(0)=0.
    O que pede:
  • Calcular f(1) e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Ideia básica (sem pular etapas): como f'(x) é a derivada de f, para obter f precisamos integrar f'(x). Ou seja,
f(x)=\int f'(x)\,dx + C = \int x e^{2x}\,dx + C,
onde C é uma constante de integração que será determinada usando f(0)=0.

Passo 3

Vamos integrar \displaystyle \int x e^{2x}\,dx. A técnica apropriada é a integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são partes escolhidas da integral. Aqui:
  • u é uma função que se torna mais simples ao derivar (por exemplo polinômio),
  • dv é uma função que é fácil de integrar.

Passo 4

Escolha das partes:
  • Tome u = x. Então du = dx.
  • Tome dv = e^{2x}\,dx. Para encontrar v integramos dv:
v=\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x},
pois a derivada de \frac{1}{2}e^{2x} é e^{2x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
Agora integramos a última integral:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 6

Portanto a primitiva fica:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C.
Agrupando termos dá uma forma alternativa útil:
\int x e^{2x}\,dx = \left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C.

Passo 7

Logo
f(x)=\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right)e^{2x} + C.
Usamos agora a condição f(0)=0 para encontrar C. Substituindo x=0:
0 = f(0) = \left(\frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{4}\right)e^{0} + C = -\frac{1}{4} + C.
Logo
C=\frac{1}{4}.

Passo 8

Substituindo C em f(x):
f(x)=\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right)e^{2x} + \frac{1}{4}.
Agora avaliamos em x=1:
f(1)=\left(\frac{1}{2}\cdot 1 - \frac{1}{4}\right)e^{2} + \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{4}\right)e^{2} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}+1}{4}.

Passo 9

Comparando com as alternativas fornecidas observa-se que nenhuma das cinco opções (todas contendo e^{3} ou denominadores diferentes) é igual a \dfrac{e^{2}+1}{4}. Portanto a resposta correta é o valor calculado, que não aparece entre as alternativas dadas.

Resposta

Nenhuma das alternativas; \dfrac{e^{2}+1}{4}

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