Sabendo que f^{\prime}(x)=\left(2+\frac{1}{x}\right)^{-3}\left(\frac{3}{x^{2}}\right) e que f(1)=\frac{5}{6}, determine f(2).
Escolha uma opção:
◯ a. \frac{68}{75}
◯ b. \frac{5}{6}
◯ c. \frac{6}{25}
◯ d. \frac{1}{9}
◯ e. \frac{62}{75}
◯ f. \frac{12}{25}
◯ g. \frac{253}{450}
◯ h. \frac{13}{18}

Passo 1

O enunciado fornece:
  • f^{\prime}(x)=\left(2+\frac{1}{x}\right)^{-3}\left(\frac{3}{x^{2}}\right).
  • A condição inicial f(1)=\frac{5}{6}.
O que se pede:
  • Determinar o valor de f(2).

Passo 2

Para encontrar f(2) precisamos conhecer a primitiva (antiderivada) de f^{\prime}(x), isto é, f(x) até uma constante. Vou transformar f^{\prime}(x) em uma derivada conhecida usando a regra da cadeia inversa.
Seja u(x)=2+\frac{1}{x}. Então
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{-2}\big)=-2\,u(x)^{-3}\,u'(x).
Calculando u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(2+\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Substituindo em \frac{d}{dx}\big(u^{-2}\big):
\frac{d}{dx}\big(u^{-2}\big)=-2\,u^{-3}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=2\,\frac{u^{-3}}{x^{2}}.

Passo 3

Comparando com f^{\prime}(x)=\left(2+\frac{1}{x}\right)^{-3}\left(\frac{3}{x^{2}}\right), nota-se que
f^{\prime}(x)=\frac{3}{x^{2}}\,u^{-3}=\frac{3}{2}\cdot 2\,\frac{u^{-3}}{x^{2}}=\frac{3}{2}\,\frac{d}{dx}\big(u^{-2}\big).
Portanto uma primitiva é
f(x)=\frac{3}{2}\,u(x)^{-2}+C=\frac{3}{2}\left(2+\frac{1}{x}\right)^{-2}+C,
onde C é constante.

Passo 4

Determine C usando f(1)=\frac{5}{6}. Para x=1 temos u(1)=2+\frac{1}{1}=3, então
\frac{3}{2}\left(2+\frac{1}{1}\right)^{-2}=\frac{3}{2}\cdot 3^{-2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{6}.
Como f(1)=\frac{1}{6}+C=\frac{5}{6}, segue
C=\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 5

Agora calcule f(2):
f(2)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{1}{2}\right)^{-2}+\frac{2}{3}.
Calcule passo a passo: 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}, então
\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}.
Logo
\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{25}=\frac{12}{50}=\frac{6}{25}.
Somando com \frac{2}{3}:
f(2)=\frac{6}{25}+\frac{2}{3}=\frac{18}{75}+\frac{50}{75}=\frac{68}{75}.

Resposta

\frac{68}{75}

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