Um alarme acústico contra roubo utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 28 Hz . Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas em um intruso que caminha com uma velocidade média de 0,95 \mathrm{~m} / \mathrm{s} aproximando-se em linha reta do alarme? \square [2,0]

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listando exatamente as informações importantes):
  • Frequência da fonte (onda emitida): f=\;28\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade média do intruso aproximando-se do alarme em linha reta: v=\;0{,}95\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas pelo intruso?
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não informa a velocidade do som no ar. Vou assumir a velocidade do som típica em ar à temperatura ambiente como c=\;340\\ \mathrm{m/s}. Se outro valor de c for exigido pela prova, basta substituir nas fórmulas que vou usar.

Passo 2

O que é frequência de batimento (explicação didática e intuitiva):
  • Quando duas ondas sonoras de frequências próximas f_1 e f_2 se somam, o resultado é uma oscilação cuja amplitude varia lentamente com uma frequência igual à diferença entre as frequências das ondas. Essa variação perceptível é o batimento.
  • Fórmula simples e usada na prova:
f_{\text{bat}}=\big|f_2-f_1\big|.
Aqui vamos tomar f_1 como a frequência original emitida pela fonte ( f) e f_2 como a frequência da onda refletida que volta ao alarme.

Passo 3

Como encontrar a frequência da onda refletida — ideia física:
  • A onda emitida pela fonte atinge o intruso em movimento; para o intruso, que se aproxima, a frequência incidente é maior (efeito Doppler para observador em movimento).
  • O intruso reflete essa onda. A superfície em movimento que reflete age como uma fonte que emite a frequência que “recebeu” (no referencial da superfície). Como essa “fonte” está se aproximando do alarme, há uma segunda mudança de frequência (efeito Doppler para fonte em movimento).
  • Portanto teremos duas correções Doppler: primeiro para o intruso como observador, depois para o intruso como fonte em movimento.

Passo 4

Fórmulas do efeito Doppler (explicando cada símbolo e a física por trás):
  • Para um observador que se move em direção a uma fonte estacionária, a frequência observada é
f_{\text{obs}}= \frac{c+v_{\text{obs}}}{c}\,f_{\text{fonte}},
onde:
  • c é a velocidade do som no meio ( \mathrm{m/s}),
  • v_{\text{obs}} é a velocidade do observador no sentido de se aproximar da fonte (positiva quando se aproxima),
  • f_{\text{fonte}} é a frequência emitida pela fonte (em \mathrm{Hz}).
  • Para uma fonte que se move em direção ao observador, a frequência percebida pelo observador é
f_{\text{ouvido}}= \frac{c}{c-v_{\text{fonte}}}\,f_{\text{emitida}},
onde v_{\text{fonte}} é a velocidade da fonte em direção ao observador (positiva quando se aproxima). A razão é que a fonte móvel “encurta” as distâncias entre frentes de onda emitidas.

Passo 5

Aplicando as fórmulas ao caso de reflexão:
  1. Frequência que o intruso (observador em movimento) “ouve” da fonte:
f_1 = \frac{c+v}{c}\,f.
  1. O intruso reflete essa onda; a reflexão age como uma fonte que emite com frequência f_1 e se move em direção ao alarme com velocidade v. A frequência recebida no alarme da onda refletida é então
f_{\mathrm{ref}} = \frac{c}{c-v}\,f_1.
  1. Substituindo f_1 em f_{\mathrm{ref}}:
f_{\mathrm{ref}} = \frac{c}{c-v}\left(\frac{c+v}{c}\,f\right)= f\;\frac{c+v}{c-v}.
Essa é a frequência da onda refletida medida no alarme.

Passo 6

Frequência de batimento (diferença entre a refletida e a original) — derivação passo a passo:
f_{\text{bat}}=f_{\mathrm{ref}}-f = f\!\left(\frac{c+v}{c-v}-1\right).
Simplificando a expressão dentro do parêntese:
\frac{c+v}{c-v}-1=\frac{c+v-(c-v)}{c-v}=\frac{2v}{c-v}.
Logo a fórmula final exata é
f_{\text{bat}}= f\;\frac{2v}{c-v}.
Observação prática (aproximação útil em provas): se v\ll c pode-se aproximar
f_{\text{bat}}\approx \frac{2fv}{c}.
Isso dá quase o mesmo resultado numérico, mas a expressão exata é a que usei antes.

Passo 7

Cálculo numérico usando os valores dados e a suposição c=\;340\\ \mathrm{m/s}. Vou fazer as contas mostrando cada passo para você poder reproduzir sem calculadora (arredondamentos mínimos no final):
  • Primeiro calcule c-v:
c-v = 340 - 0{,}95 = 339{,}05\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora aplique a fórmula exata:
f_{\text{bat}} = 28\cdot\frac{2\cdot 0{,}95}{339{,}05}.
Calcule o numerador da fração:
2\cdot 0{,}95 = 1{,}90.
Então
f_{\text{bat}} = 28\cdot\frac{1{,}90}{339{,}05}.
Avaliação numérica (multiplicando):
\frac{1{,}90}{339{,}05}\approx 0{,}005603,
28\times 0{,}005603\approx 0{,}1569\\ \mathrm{Hz}.
Usando a aproximação f_{\text{bat}}\approx 2fv/c obtém-se quase o mesmo:
f_{\text{bat}}\approx \frac{2\cdot 28\cdot 0{,}95}{340}\approx 0{,}1565\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Interpretação final e dica de prova:
  • A frequência de batimento é muito baixa: \approx 0{,}157\\ \mathrm{Hz}, ou seja, as batidas ocorrem a cada cerca de 1/0{,}157\approx 6{,}4 segundos. Isso faz sentido físico porque a velocidade do intruso é muito pequena comparada à velocidade do som, então o deslocamento relativo causa apenas uma pequena diferença de frequência.
  • Dica prática para a prova: memorize a sequência “observador em movimento, depois fonte em movimento” para reflexões, que resulta em um fator composto \dfrac{c+v}{c-v}. Para velocidades pequenas, use a versão aproximada f_{\text{bat}}\approx 2fv/c para cálculo rápido.

Resposta

\,0{,}157\\ \mathrm{Hz}

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