Um alarme acústico contra roubo utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 28 Hz . Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas em um intruso que caminha com uma velocidade média de 0,95 \mathrm{~m} / \mathrm{s} aproximando-se em linha reta do alarme? \square [2,0]
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listando exatamente as informações importantes):
Frequência da fonte (onda emitida): f=\;28\\ \mathrm{Hz}.
Velocidade média do intruso aproximando-se do alarme em linha reta: v=\;0{,}95\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta: qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e as ondas refletidas pelo intruso?
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não informa a velocidade do som no ar. Vou assumir a velocidade do som típica em ar à temperatura ambiente como c=\;340\\ \mathrm{m/s}. Se outro valor de c for exigido pela prova, basta substituir nas fórmulas que vou usar.
Passo 2
O que é frequência de batimento (explicação didática e intuitiva):
Quando duas ondas sonoras de frequências próximas f_1 e f_2 se somam, o resultado é uma oscilação cuja amplitude varia lentamente com uma frequência igual à diferença entre as frequências das ondas. Essa variação perceptível é o batimento.
Fórmula simples e usada na prova:
f_{\text{bat}}=\big|f_2-f_1\big|.
Aqui vamos tomar f_1 como a frequência original emitida pela fonte (f) e f_2 como a frequência da onda refletida que volta ao alarme.
Passo 3
Como encontrar a frequência da onda refletida — ideia física:
A onda emitida pela fonte atinge o intruso em movimento; para o intruso, que se aproxima, a frequência incidente é maior (efeito Doppler para observador em movimento).
O intruso reflete essa onda. A superfície em movimento que reflete age como uma fonte que emite a frequência que “recebeu” (no referencial da superfície). Como essa “fonte” está se aproximando do alarme, há uma segunda mudança de frequência (efeito Doppler para fonte em movimento).
Portanto teremos duas correções Doppler: primeiro para o intruso como observador, depois para o intruso como fonte em movimento.
Passo 4
Fórmulas do efeito Doppler (explicando cada símbolo e a física por trás):
Para um observador que se move em direção a uma fonte estacionária, a frequência observada é
onde v_{\text{fonte}} é a velocidade da fonte em direção ao observador (positiva quando se aproxima). A razão é que a fonte móvel “encurta” as distâncias entre frentes de onda emitidas.
Passo 5
Aplicando as fórmulas ao caso de reflexão:
Frequência que o intruso (observador em movimento) “ouve” da fonte:
f_1 = \frac{c+v}{c}\,f.
O intruso reflete essa onda; a reflexão age como uma fonte que emite com frequência f_1 e se move em direção ao alarme com velocidade v. A frequência recebida no alarme da onda refletida é então
Observação prática (aproximação útil em provas): se v\ll c pode-se aproximar
f_{\text{bat}}\approx \frac{2fv}{c}.
Isso dá quase o mesmo resultado numérico, mas a expressão exata é a que usei antes.
Passo 7
Cálculo numérico usando os valores dados e a suposição c=\;340\\ \mathrm{m/s}. Vou fazer as contas mostrando cada passo para você poder reproduzir sem calculadora (arredondamentos mínimos no final):
A frequência de batimento é muito baixa: \approx 0{,}157\\ \mathrm{Hz}, ou seja, as batidas ocorrem a cada cerca de 1/0{,}157\approx 6{,}4 segundos. Isso faz sentido físico porque a velocidade do intruso é muito pequena comparada à velocidade do som, então o deslocamento relativo causa apenas uma pequena diferença de frequência.
Dica prática para a prova: memorize a sequência “observador em movimento, depois fonte em movimento” para reflexões, que resulta em um fator composto \dfrac{c+v}{c-v}. Para velocidades pequenas, use a versão aproximada f_{\text{bat}}\approx 2fv/c para cálculo rápido.