Uma corda fixa nas duas extremidades tem 12,0 \mathrm{~m} de comprimento, massa de 0,210 \mathrm{~kg} e uma tensão de 69 N . (a) Qual é a velocidade das ondas na corda? (b) Qual é o maior comprimento de onda possível para uma onda estacionária na corda? (c) Determine a frequência dessa onda.

Passo 1

Primeiro vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei esses valores do enunciado):
  • comprimento da corda L = 12,0\\ \mathrm{m},
  • massa da corda m = 0,210\\ \mathrm{kg},
  • tensão da corda T = 69\\ \mathrm{N}.
O enunciado pede três coisas:
(a) a velocidade das ondas na corda;
(b) o maior comprimento de onda possível para uma onda estacionária na corda;
(c) a frequência dessa onda (a frequência correspondente ao maior comprimento de onda).

Passo 2

Entender a massa por unidade de comprimento (densidade linear) e calcular ela.
Explicação didática: para ondas numa corda, a massa que importa é quanto de massa há por metro da corda — isso chama‑se densidade linear e é simbolizada por \mu. É definida por
\mu=\frac{m}{L},
onde m é a massa total da corda e L é o comprimento da corda. Aqui cada símbolo significa:
  • \mu: massa por comprimento (unidade \mathrm{kg/m});
  • m: massa total ( \mathrm{kg});
  • L: comprimento ( \mathrm{m}).
Agora calculo \mu com os números dados:
\mu=\frac{0,210}{12,0}=0,0175\\ \mathrm{kg/m}.
Interpretação: a cada metro da corda há 0,0175\\ \mathrm{kg} de massa.

Passo 3

Fórmula da velocidade das ondas na corda e por que ela tem essa forma.
Conceito: em uma corda tensa, a velocidade de ondas transversais depende da tensão T que “puxa” a corda e da inércia por unidade de comprimento ( \mu). Fisicamente, maior tensão acelera mais rápido a perturbação; maior massa por comprimento retarda. A fórmula resultante é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda ( \mathrm{m/s});
  • T é a tensão ( \mathrm{N});
  • \mu é a densidade linear ( \mathrm{kg/m}).
Agora substituo os valores que já tenho:
v=\sqrt{\frac{69}{0,0175}}.
Faço as contas passo a passo:
\frac{69}{0,0175}=3942,857\ldots
v=\sqrt{3942,857\ldots}=62,8\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{arredondando para três algarismos significativos}).ê
Interpretação prática: ondas se propagam na corda a cerca de 62,8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Entender quais comprimentos de onda são permitidos para ondas estacionárias em uma corda fixa nas duas extremidades.
Conceito didático: em uma corda com as duas extremidades fixas, os pontos nas extremidades são sempre nós (deslocamento zero). As ondas estacionárias que cabem na corda correspondem aos modos harmônicos, com comprimentos de onda dados por
\lambda_n=\frac{2L}{n},
onde n é um número inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots). Aqui:
  • n é a ordem do harmônico (fundamental é n=1);
  • \lambda_n é o comprimento de onda do modo n.
O maior comprimento de onda ocorre para n=1 (o modo fundamental), porque \lambda_n diminui quando n aumenta. Portanto o maior comprimento de onda possível é
\lambda_{\max}=\lambda_1=2L.

Passo 5

Calcular numericamente o maior comprimento de onda usando L.
Substituo L=12,0\\ \mathrm{m}:
\lambda_{\max}=2\cdot 12,0 = 24,0\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a onda estacionária fundamental tem exatamente metade de um comprimento de onda entre as extremidades — isto é, a corda corresponde a meia onda, logo \lambda=2L.

Passo 6

Determinar a frequência associada ao maior comprimento de onda.
Conceito: relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda para uma onda harmônica é
v=\lambda f,
onde f é a frequência ( \mathrm{Hz}). Isolando f,
f=\frac{v}{\lambda}.
Para o modo fundamental usamos \lambda=\lambda_{\max} e o v calculado antes.
Agora calculo:
f=\frac{62,8}{24,0}=2,62\\ \mathrm{Hz}
(arredondado para três algarismos significativos).
Interpretação: o modo fundamental oscila a aproximadamente 2,62\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) 62,8\\ \mathrm{m/s}
(b) 24,0\\ \mathrm{m}
(c) 2,62\\ \mathrm{Hz}

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