Uma onda sonora da forma
se propaga a
no ar em um tubo horizontal longo. Em um certo instante a molécula A do ar, situada no ponto
está com o deslocamento máximo positivo de 8 nm e a molécula B , situada em
, está com um deslocamento positivo de 3 nm . Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários. Qual é a frequência da onda?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A forma da onda é
. - A velocidade de propagação é
. - Em um mesmo instante (mesmo
): - A molécula A, em
, está com deslocamento máximo positivo . - A molécula B, em
, está com deslocamento positivo .
- A molécula A, em
- Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários (ou seja, entre
e , e todas positivas).
O que o enunciado pede:
- Determinar a frequência da onda.
Passo 2
Interpretar o dado “deslocamento máximo positivo” e escrever a equação nos pontos A e B.
- “Deslocamento máximo positivo” em A significa que, naquele instante, a função cosseno vale
em A; portanto o deslocamento em A é o próprio amplitude: - Escrever a função nos dois pontos no mesmo instante
. Denotando a fase em A por e em B por , temos
Passo 3
Usar o fato de que em A a cosseno vale 1 para relacionar as fases.
- Como
, segue que . Isso implica que - A diferença de fase entre A e B (no mesmo instante) é
onde
Passo 4
Expressar o deslocamento em B usando a diferença de fase e isolar
.
- Usando
e a identidade do cosseno, - Portanto
Substituindo os valores dados: - Isolando o cosseno:
Passo 5
Determinar as possíveis soluções para
e escolher a fisicamente correta.
- A equação
tem soluções gerais Aqui . - Agora usar a informação física “todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários (todos positivos)”. Isso significa que, ao mover-se de A para B, o cosseno varia de
até sem mudar de sinal nem ter oscilações adicionais — logo a diferença de fase entre A e B deve ser a menor solução positiva: - Calcular numericamente
. Em radianos: - Portanto o número de onda é
Passo 6
Relacionar
com a frequência
e calcular
.
- Lembrando as relações das ondas harmônicas:
- Substituir
e : - Calcular numericamente:
Passo 7
Breve verificação e comentário final (para te deixar confiante).
- A frequência obtida é razoável para ondas sonoras. Se tivéssemos escolhido uma outra solução do cosseno adicionando
, resultaríamos em muito maior e, consequentemente, frequências múltiplas (modos mais altos) — mas essas não são compatíveis com a condição de que todos os pontos entre A e B têm deslocamentos intermediários e positivos. Assim a escolha da menor solução positiva para está justificada.