Uma onda sonora da forma s(x, t)=s_{m} \cos (k x-\omega t+\varphi) se propaga a 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ar em um tubo horizontal longo. Em um certo instante a molécula A do ar, situada no ponto \mathrm{x}=2,07 \mathrm{~m} está com o deslocamento máximo positivo de 8 nm e a molécula B , situada em \mathrm{x}=2,00 \mathrm{~m}, está com um deslocamento positivo de 3 nm . Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários. Qual é a frequência da onda?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A forma da onda é s(x,t)=s_{m}\cos(kx-\omega t+\varphi).
  • A velocidade de propagação é v=340\\ \mathrm{m/s}.
  • Em um mesmo instante (mesmo t):
    • A molécula A, em x_A=2,07\\ \mathrm{m}, está com deslocamento máximo positivo 8\\ \mathrm{nm}.
    • A molécula B, em x_B=2,00\\ \mathrm{m}, está com deslocamento positivo 3\\ \mathrm{nm}.
  • Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários (ou seja, entre 3\\ \mathrm{nm} e 8\\ \mathrm{nm, e todas positivas).
O que o enunciado pede:
  • Determinar a frequência da onda.

Passo 2

Interpretar o dado “deslocamento máximo positivo” e escrever a equação nos pontos A e B.
  • “Deslocamento máximo positivo” em A significa que, naquele instante, a função cosseno vale +1 em A; portanto o deslocamento em A é o próprio amplitude: s_m = 8\\ \mathrm{nm} = 8\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Escrever a função nos dois pontos no mesmo instante t_0. Denotando a fase em A por \Phi_A = kx_A-\omega t_0+\varphi e em B por \Phi_B = kx_B-\omega t_0+\varphi, temos s(x_A,t_0)=s_m\cos(\Phi_A)=8\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
s(x_B,t_0)=s_m\cos(\Phi_B)=3\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Usar o fato de que em A a cosseno vale 1 para relacionar as fases.
  • Como s(x_A,t_0)=s_m, segue que \cos(\Phi_A)=1. Isso implica que \Phi_A = 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
  • A diferença de fase entre A e B (no mesmo instante) é \Phi_A-\Phi_B = k(x_A-x_B)=k\Delta x,onde \Delta x = x_A-x_B = 2{,}07-2{,}00 = 0{,}07\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Expressar o deslocamento em B usando a diferença de fase e isolar k\Delta x.
  • Usando \Phi_A=2\pi n e a identidade do cosseno, \cos(\Phi_B)=\cos(\Phi_A - k\Delta x)=\cos(2\pi n - k\Delta x)=\cos(k\Delta x).
  • Portanto s(x_B,t_0)=s_m\cos(k\Delta x).Substituindo os valores dados: 3\times10^{-9} = 8\times10^{-9}\cos(k\Delta x).
  • Isolando o cosseno: \cos(k\Delta x) = \frac{3}{8} = 0{,}375.

Passo 5

Determinar as possíveis soluções para k\Delta x e escolher a fisicamente correta.
  • A equação \cos(\theta)=0{,}375 tem soluções gerais \theta = \pm\operatorname{arccos}(0{,}375) + 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.Aqui \theta = k\Delta x.
  • Agora usar a informação física “todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários (todos positivos)”. Isso significa que, ao mover-se de A para B, o cosseno varia de 1 até 0{,}375 sem mudar de sinal nem ter oscilações adicionais — logo a diferença de fase entre A e B deve ser a menor solução positiva: k\Delta x = \operatorname{arccos}(0{,}375).
  • Calcular numericamente \operatorname{arccos}(0{,}375). Em radianos: \operatorname{arccos}(0{,}375) \approx 1{,}1864\\ \text{rad}.
  • Portanto o número de onda é k = \frac{\operatorname{arccos}(0{,}375)}{\Delta x} = \frac{1{,}1864}{0{,}07}\\ \mathrm{rad/m} \approx 16{,}9486\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Relacionar k com a frequência f e calcular f.
  • Lembrando as relações das ondas harmônicas: k = \frac{2\pi}{\lambda},\qquad v=\lambda f \quad\Rightarrow\quad f=\frac{v}{\lambda}=\frac{v k}{2\pi}.
  • Substituir v=340\\ \mathrm{m/s} e k\approx16{,}9486\\ \mathrm{rad/m}: f = \frac{340\cdot16{,}9486}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.
  • Calcular numericamente: f \approx \frac{5762{,}52}{6{,}28318}\\ \mathrm{Hz} \approx 917{,}2\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Breve verificação e comentário final (para te deixar confiante).
  • A frequência obtida é razoável para ondas sonoras. Se tivéssemos escolhido uma outra solução do cosseno adicionando 2\pi m, resultaríamos em k muito maior e, consequentemente, frequências múltiplas (modos mais altos) — mas essas não são compatíveis com a condição de que todos os pontos entre A e B têm deslocamentos intermediários e positivos. Assim a escolha da menor solução positiva para k\Delta x está justificada.

Resposta

f = 917{,}2\\ \mathrm{Hz}

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