Um alarme acústico contra roubo utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 28 Hz . Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e ondas refletidas em um intruso que caminha com uma velocidade média de 0,95 \mathrm{~m} / \mathrm{s} afastando-se em linha reta do alarme?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Frequência da fonte (alarme): \,f_0 = 28\\ \mathrm{Hz}.
Velocidade média do intruso afastando-se do alarme: \,u = 0{,}95\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta: qual é a frequência de batimento entre as ondas emitidas pela fonte e as ondas refletidas pelo intruso?
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não informa a velocidade do som no ar. Vou usar o valor típico à temperatura ambiente:
v = 343\\ \mathrm{m/s}.
Se o ar estiver muito frio/quente o valor muda um pouco; o procedimento continua o mesmo.
Passo 2
O que é frequência de batimento (conceito que vamos usar)?
Quando duas ondas sonoras com frequências próximas \,f_1 e \,f_2 se somam, o ouvido percebe oscilações de intensidade (batimentos) com frequência igual a
f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|.
Ou seja, para achar o batimento aqui precisamos calcular a diferença absoluta entre \,f_0 (onda direta) e a frequência da onda refletida \,f_{\text{ref}}.
Passo 3
Entendendo o efeito Doppler para o primeiro passo (o intruso vê um som diferente porque está se movendo).
Fórmula para a frequência percebida por um observador que se afasta de uma fonte estacionária:
f_{\text{obs}} = f_0\cdot\frac{v - u}{v},
onde
\,f_0 é a frequência da fonte,
\,v é a velocidade do som no ar,
\,u é a velocidade do observador (intruso) afastando-se (positiva se afastando).
Explicação intuitiva: como o observador se afasta, ele intercepta menos frentes de onda por segundo, então a frequência percebida diminui pelo fator \dfrac{v-u}{v}.
Passo 4
A reflexão na pessoa em movimento — por que há duas etapas do Doppler.
O intruso recebe a onda com \,f_{\text{obs}} e a reflete; no processo de reflexão a superfície em movimento age como uma fonte que emite (re-irradia) onda com frequência \,f_{\text{obs}} no referencial do intruso.
Para um observador fixo na posição da fonte (o próprio alarme ou um microfone próximo), essa fonte refletora está se afastando com velocidade \,u. A frequência recebida de uma fonte que se afasta é
Esse resultado é o efeito Doppler aplicado duas vezes (primeiro para o intruso como observador, depois para ele como fonte móvel): frequência reduzida pelo fator \dfrac{v-u}{v+u}.
Passo 5
Expressão para a frequência de batimento (algebra limpa).
Arredondando de forma conveniente (3 algarismos significativos):
f_{\text{bat}} \approx 0{,}155\\ \mathrm{Hz}.
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo.
Resultado pequeno: \,0{,}155\\ \mathrm{Hz} significa que os batimentos ocorrem muito lentamente — cada batimento dura cerca de 1/0{,}155\approx 6{,}45\\ \mathrm{s}.
Bom trabalho por chegar até aqui — a ideia chave para a prova é: entender o Doppler em duas etapas para um refletor em movimento e lembrar que batimento é a diferença de frequências. Você consegue!