Um alarme acústico contra roubo utiliza uma fonte que emite ondas com uma frequência de 28 Hz . Qual é a frequência de batimento entre as ondas da fonte e ondas refletidas em um intruso que caminha com uma velocidade média de 0,95 \mathrm{~m} / \mathrm{s} afastando-se em linha reta do alarme?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Frequência da fonte (alarme): \,f_0 = 28\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade média do intruso afastando-se do alarme: \,u = 0{,}95\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual é a frequência de batimento entre as ondas emitidas pela fonte e as ondas refletidas pelo intruso?
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não informa a velocidade do som no ar. Vou usar o valor típico à temperatura ambiente:
v = 343\\ \mathrm{m/s}.
Se o ar estiver muito frio/quente o valor muda um pouco; o procedimento continua o mesmo.

Passo 2

O que é frequência de batimento (conceito que vamos usar)?
  • Quando duas ondas sonoras com frequências próximas \,f_1 e \,f_2 se somam, o ouvido percebe oscilações de intensidade (batimentos) com frequência igual a
f_{\text{bat}} = |f_1 - f_2|.
Ou seja, para achar o batimento aqui precisamos calcular a diferença absoluta entre \,f_0 (onda direta) e a frequência da onda refletida \,f_{\text{ref}}.

Passo 3

Entendendo o efeito Doppler para o primeiro passo (o intruso vê um som diferente porque está se movendo).
  • Fórmula para a frequência percebida por um observador que se afasta de uma fonte estacionária:
f_{\text{obs}} = f_0\cdot\frac{v - u}{v},
onde
  • \,f_0 é a frequência da fonte,
  • \,v é a velocidade do som no ar,
  • \,u é a velocidade do observador (intruso) afastando-se (positiva se afastando).
    Explicação intuitiva: como o observador se afasta, ele intercepta menos frentes de onda por segundo, então a frequência percebida diminui pelo fator \dfrac{v-u}{v}.

Passo 4

A reflexão na pessoa em movimento — por que há duas etapas do Doppler.
  • O intruso recebe a onda com \,f_{\text{obs}} e a reflete; no processo de reflexão a superfície em movimento age como uma fonte que emite (re-irradia) onda com frequência \,f_{\text{obs}} no referencial do intruso.
  • Para um observador fixo na posição da fonte (o próprio alarme ou um microfone próximo), essa fonte refletora está se afastando com velocidade \,u. A frequência recebida de uma fonte que se afasta é
f_{\text{ref}} = f_{\text{obs}}\cdot\frac{v}{v+u}.
  • Substituindo \,f_{\text{obs}} obtemos a frequência da onda refletida medida na posição da fonte:
f_{\text{ref}} = f_0\cdot\frac{v - u}{v}\cdot\frac{v}{v+u} = f_0\cdot\frac{v - u}{v + u}.
Esse resultado é o efeito Doppler aplicado duas vezes (primeiro para o intruso como observador, depois para ele como fonte móvel): frequência reduzida pelo fator \dfrac{v-u}{v+u}.

Passo 5

Expressão para a frequência de batimento (algebra limpa).
  • A frequência de batimento é
f_{\text{bat}} = \bigl|f_0 - f_{\text{ref}}\bigr| = f_0\left|1 - \frac{v - u}{v + u}\right|.
  • Simplificando a expressão dentro do módulo:
1 - \frac{v - u}{v + u} = \frac{v+u - (v-u)}{v+u} = \frac{2u}{v+u}.
Portanto a fórmula prática é
f_{\text{bat}} = f_0\cdot\frac{2u}{v+u}.
Observação útil: se \,u\ll v pode-se aproximar \,f_{\text{bat}}\approx 2 f_0 \dfrac{u}{v}. Isso dá um cálculo rápido mental.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo com os valores dados (uso \,v=343\\ \mathrm{m/s}).
  • Primeiro calcule o denominador:
v+u = 343 + 0{,}95 = 343{,}95\\ \mathrm{m/s}.
  • Numerador 2u = 2\times 0{,}95 = 1{,}90\\ \mathrm{m/s}.
  • Razão:
\frac{2u}{v+u} = \frac{1{,}90}{343{,}95}\approx 0{,}005524\ldots
  • Multiplicando por \,f_0 = 28\\ \mathrm{Hz}:
f_{\text{bat}} = 28 \times 0{,}005524\ldots \approx 0{,}1547\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma conveniente (3 algarismos significativos):
f_{\text{bat}} \approx 0{,}155\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo.
  • Resultado pequeno: \,0{,}155\\ \mathrm{Hz} significa que os batimentos ocorrem muito lentamente — cada batimento dura cerca de 1/0{,}155\approx 6{,}45\\ \mathrm{s}.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — a ideia chave para a prova é: entender o Doppler em duas etapas para um refletor em movimento e lembrar que batimento é a diferença de frequências. Você consegue!

Resposta

0{,}155\\ \mathrm{Hz}

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