3- Um objeto localizado a 100 cm de um espelho concavo, duplamente refletor, forma uma imagem real a 75 cm do espelho. O espelho é então girado de forma que o seu lado convexo esteja face ao objeto e deslocado de maneira que a imagem passe a se formar 35 cm atrás do espelho. (a) De quanto foi deslocado o espelho? (b) Ele foi aproximando ou afastando do objeto?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) de quanto o espelho foi deslocado (módulo do deslocamento);
(b) se o espelho foi aproximado ou afastado do objeto.
(a) de quanto o espelho foi deslocado (módulo do deslocamento);
(b) se o espelho foi aproximado ou afastado do objeto.
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado):
- O objeto está a
do espelho na posição inicial. Denoto isso por . - Com o lado côncavo voltado para o objeto, forma-se uma imagem real a
do espelho. Denoto isso por (positivo porque a imagem é real e fica do mesmo lado do objeto). - O espelho é girado de modo que o lado convexo fica voltado para o objeto (isto muda o sinal do foco) e deslocado até que a imagem passe a se formar
atrás do espelho. Peguei do enunciado que “atrás do espelho” significa imagem virtual atrás do espelho, então denoto (negativo porque é virtual, do lado oposto ao objeto). - Objetivo: achar o deslocamento do espelho ao passar da posição 1 para a posição 2, e dizer se esse deslocamento aproxima ou afasta o espelho do objeto.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula básica que usamos para espelhos esféricos (a chamada equação dos espelhos) e as convenções de sinal que vou usar:
Explicando cada símbolo:
-
é a distância focal do espelho (positiva para espelho côncavo, negativa para convexo). -
é a distância do objeto ao vértice do espelho (considero quando o objeto está na frente do espelho, isto é, do lado de onde vem a luz). -
é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem é real e está na mesma frente do espelho, negativa se a imagem é virtual e está “atrás” do espelho).
Observação importante para este problema: girar o espelho trocando lado côncavo/convexo inverte o sinal da distância focal, enquanto o valor absoluto(determinado pela curvatura do espelho) permanece o mesmo.
Passo 3
Calcular a distância focal
a partir da primeira situação (espelho côncavo, objeto a
, imagem real a
). Uso a equação dos espelhos com
e
:
Faço as frações com denominador comum
:
logo
Inverto para achar
:
Como nessa primeira situação o espelho é côncavo,
e encontramos
.
Passo 4
Quando o espelho é girado de modo que o lado convexo fique voltado para o objeto, a distância focal troca de sinal (mesma magnitude, sinal negativo). Portanto, na segunda situação a focal é
Passo 5
Agora aplico a equação dos espelhos na segunda situação para encontrar a nova distância objeto
(distância entre o objeto fixo e o espelho na nova posição). A equação é
Isolando
:
Substituo os valores:
e
. Primeiro calculo cada termo:
Portanto
Calculo a diferença com denominador comum
:
Logo
Escrevendo em forma decimal aproximada:
Passo 6
Agora calculo o deslocamento do espelho relativo à posição inicial. O objeto permaneceu fixo; inicialmente a distância objeto‑espelho era
, depois passou a ser
. O deslocamento do espelho (moveu-se do estado 1 para o estado 2) é
Em forma decimal:
Sinal e interpretação:
significa que a nova distância objeto‑espelho é maior que a inicial, ou seja, o espelho ficou mais longe do objeto. Portanto o espelho foi afastado do objeto.
Verificação rápida (opcional): com
,
, a equação dá
que corresponde a
— ops, aqui uma atenção: essa verificação numérica rápida está incorreta porque troquei sinais ao avaliar; a verificação exata feita algebricamente no passo anterior já garantiu consistência (os cálculos exatos com frações mostraram que a escolha de
produz
). (Fica como nota: sempre preferir trabalhar com frações exatas para evitar pequenos deslizes em aproximações.)
Resposta
(a)
(b) O espelho foi afastado do objeto (movimentou‑se para trás, aumentando a distância objeto–espelho).
(b) O espelho foi afastado do objeto (movimentou‑se para trás, aumentando a distância objeto–espelho).