1- Uma onda eletromagnética de comprimento de onda 435 n m viaja no vácuo na direção -z. O campo elétrico, paralelo ao eixo x, tem amplitude 2,70 \times 10^{-3} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Calcule (a) a frequência dessa radiação e (b) a amplitude do campo magnético? (c) Escreva as expressões para os campos \mathbf{E}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) e \mathbf{B}(\mathrm{z}, \mathrm{t}). (d) Represente graficamente os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} e o vetor de Poynting, \mathbf{S}.

Passo 1

O enunciado pergunta quatro coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente cada pergunta e os dados fornecidos (pegar estes valores do enunciado):
  • Perguntas:
    (a) Calcular a frequência dessa radiação.
    (b) Calcular a amplitude do campo magnético.
    (c) Escrever as expressões para os campos \mathbf{E}(z,t) e \mathbf{B}(z,t).
    (d) Representar graficamente os campos \mathbf{E} e \mathbf{B} e o vetor de Poynting \mathbf{S}.
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento de onda: \lambda = 435\\ \mathrm{nm} = 435\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
    • A onda viaja no vácuo na direção -\hat{z} (isto é, propagação em direção negativa do eixo z).
    • O campo elétrico é paralelo ao eixo x e tem amplitude E_0 = 2,70\times10^{-3}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
A partir daqui começo a resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Frequência: relação fundamental entre velocidade, comprimento de onda e frequência. No vácuo a velocidade é a velocidade da luz c, e vale a fórmula
c = \lambda f,
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • \lambda é o comprimento de onda,
  • f é a frequência.
Isolando f:
f=\frac{c}{\lambda}.
Agora substituo os valores numéricos (mostrando passo a passo):
f=\frac{3{,}00\times10^{8}}{435\times10^{-9}}\\ \mathrm{Hz}.
Faço a conta:
\frac{3{,}00\times10^{8}}{435\times10^{-9}}= \frac{3{,}00}{435}\times10^{8+9} =0{,}00689655\ldots\times10^{17} \approx6{,}90\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Portanto a frequência é \displaystyle f\approx6{,}90\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Também é útil calcular a frequência angular \omega e o número de onda k, porque aparecem nas expressões dos campos:
\omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Substituindo:
\omega=2\pi\,(6{,}90\times10^{14})\approx4{,}33\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s},
k=\frac{2\pi}{435\times10^{-9}}\approx1{,}44\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.
Explicação curta: \omega é a velocidade angular das oscilações (rad/s) e k mede quantas ondas cabem por metro (m^{-1}).

Passo 3

(b) Amplitude do campo magnético: relação entre amplitudes de campos elétrico e magnético para onda plana no vácuo. Num plano de onda eletromagnética no vácuo, as amplitudes satisfazem
E_0 = c\,B_0,
onde:
  • E_0 é a amplitude do campo elétrico (em V/m),
  • B_0 é a amplitude do campo magnético (em T),
  • c é a velocidade da luz.
Isto vem das equações de Maxwell para uma onda plana no vácuo (resumindo: campos elétrico e magnético são perpendiculares e têm módulos relacionados por E=cB). Assim:
B_0=\frac{E_0}{c}.
Substituo numericamente:
B_0=\frac{2{,}70\times10^{-3}}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{T} =9{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{T}.
Portanto \displaystyle B_0=9{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

(c) Expressões dos campos \mathbf{E}(z,t) e \mathbf{B}(z,t).
Explicação física antes de escrever: para uma onda plana harmônica no vácuo a forma geral é
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi),
\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t+\varphi),
com \mathbf{B}_0=\frac{1}{c}\hat{k}\times\mathbf{E}_0 (direção e módulo ligados por produto vetorial). Aqui \hat{k} é a direção de propagação (unitária) e \varphi é uma fase inicial. No nosso caso:
  • a direção de propagação é \hat{k}=-\hat{z},
  • o campo elétrico está paralelo a \hat{x}, ou seja \mathbf{E}_0=E_0\hat{x},
  • tomamos fase inicial \varphi=0 (podemos escolher assim sem perda de generalidade).
Calculando \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}: com \mathbf{k}=k(-\hat{z}) e \mathbf{r}=z\hat{z} vem \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=-kz. Portanto a fase \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t=-kz-\omega t. Como \cos(-kz-\omega t)=\cos(kz+\omega t), é comum escrever a fase como kz+\omega t quando a propagação é em -z.
Agora a direção de \mathbf{B}_0 deve satisfazer \hat{x}\times\hat{b}=-\hat{z} (porque \mathbf{E}\times\mathbf{B} aponta na direção da propagação, aqui -\hat{z}). Sabendo que \hat{x}\times(-\hat{y})=-\hat{z}, concluímos \hat{b}=-\hat{y}. Portanto \mathbf{B}_0=-B_0\hat{y}.
Assim as expressões (com k e \omega definidos antes) ficam:
\mathbf{E}(z,t)=E_0\cos(kz+\omega t)\,\hat{x},
\mathbf{B}(z,t)=-B_0\cos(kz+\omega t)\,\hat{y},
onde numericamente
E_0=2{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m},\quad B_0=9{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{T},
k\approx1{,}44\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1},\quad \omega\approx4{,}33\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
Observações didáticas rápidas:
  • E e B estão em fase (mesma função coseno), como esperado para onda no vácuo.
  • O sinal negativo em \mathbf{B} indica que o campo magnético aponta na direção -\hat{y} quando \mathbf{E} aponta em +\hat{x}.

Passo 5

(d) Vetor de Poynting \mathbf{S} — expressão e interpretação.
Definição: o vetor de Poynting instantâneo é
\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},
onde \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}). Substituindo as expressões encontradas:
\mathbf{S}(z,t)=\frac{1}{\mu_0}\bigl(E_0\cos(kz+\omega t)\,\hat{x}\bigr)\times\bigl(-B_0\cos(kz+\omega t)\,\hat{y}\bigr).
Fazendo o produto vetorial e usando \hat{x}\times(-\hat{y})=-\hat{z}:
\mathbf{S}(z,t)= -\frac{E_0 B_0}{\mu_0}\cos^2(kz+\omega t)\,\hat{z}.
Isto mostra que a energia é transportada na direção -\hat{z}, consistente com a direção de propagação.
Valor médio (intensidade média): a quantidade que normalmente interessa é o valor médio temporal de \mathbf{S} (sobre um período), denotado \langle\mathbf{S}\rangle. Como \langle\cos^2\rangle=1/2,
\langle\mathbf{S}\rangle = -\frac{E_0 B_0}{2\mu_0}\,\hat{z}.
Usando B_0=E_0/c isto pode ser escrito também como
\langle\mathbf{S}\rangle = -\frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2\,\hat{z},
porque \varepsilon_0=1/(\mu_0 c^2).
Calculo numérico do valor médio (magnitude):
\langle S\rangle = \frac{E_0 B_0}{2\mu_0} = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}.
Substituindo E_0=2{,}70\times10^{-3}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}:
\langle S\rangle \approx 9{,}68\times10^{-9}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2,
e a direção é -\hat{z}.
Interpretação: isto significa que a potência média transportada pela onda por unidade de área é muito pequena (da ordem de 10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) e flui na direção -z.

Passo 6

Como representar graficamente (como esboçar) \mathbf{E}, \mathbf{B} e \mathbf{S} — instruções para o desenho (passo a passo de como fazer um esboço claro na prova):
  • Escolha um instante de tempo fixo, por exemplo t=0. Plote sobre o eixo z a função \cos(kz).
  • Em cada posição z desenhe um pequeno vetor na direção +\hat{x} cuja componente x tem comprimento proporcional a E_x(z,0)=E_0\cos(kz). Assim obtém-se a “onda” do campo elétrico oscilando horizontalmente (para a direita/para a esquerda) conforme z.
  • Em cada posição z desenhe um pequeno vetor para a direção -\hat{y} (para baixo no papel, por exemplo) com comprimento proporcional a B_y(z,0)=-B_0\cos(kz). Como B_0\ll E_0, desenhe os vetores B muito menores que os de E (proporção B_0/E_0=1/c).
  • Os dois conjuntos de vetores oscilam em fase (crestos e vales no mesmo z), então os sinais dos vetores E e B mudam juntos.
  • Desenhe setas grandes apontando para -\hat{z} (para baixo na figura se \hat{z} for vertical para cima) para representar \mathbf{S}; se quiser indicar variação instantânea, desenhe \mathbf{S}(z,t)\propto -\cos^2(kz+\omega t)\,\hat{z} (sempre apontando para -z, magnitude oscilante entre 0 e E_0B_0/\mu_0), mas para a maioria das figuras é suficiente desenhar \langle\mathbf{S}\rangle como uma seta constante para -\hat{z}.
Dica prática para a prova: alinhe no papel os eixos de modo que z seja horizontal; desenhe os vetores E saindo/inclinando para cima/baixo (eixo x) e os vetores B para dentro/fora do plano (eixo y) ou para cima/baixo se preferir representar y no papel; simplesmente mantenha a perpendicularidade e a fase igual — isso é o que o examinador quer ver.

Resposta

(a) f\approx6{,}90\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
(b) B_0=9{,}00\times10^{-12}\\ \mathrm{T}.
(c) \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=\bigl(2{,}70\times10^{-3}\bigr)\cos(kz+\omega t)\,\hat{x},\qquad \mathbf{B}(z,t)=-\bigl(9{,}00\times10^{-12}\bigr)\cos(kz+\omega t)\,\hat{y},
com \displaystyle k\approx1{,}44\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1} e \displaystyle \omega\approx4{,}33\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.
(d) \displaystyle \mathbf{S}(z,t)= -\frac{E_0B_0}{\mu_0}\cos^2(kz+\omega t)\,\hat{z} (vetor médio \langle\mathbf{S}\rangle=-\dfrac{E_0B_0}{2\mu_0}\,\hat{z}); numericamente \langle S\rangle\approx9{,}68\times10^{-9}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 apontando para -\hat{z}.

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