1- Uma onda eletromagnética de comprimento de onda
viaja no vácuo na direção -z. O campo elétrico, paralelo ao eixo
, tem amplitude
. Calcule (a) a frequência dessa radiação e (b) a amplitude do campo magnético? (c) Escreva as expressões para os campos
e
. (d) Represente graficamente os campos
e
e o vetor de Poynting,
.
Passo 1
O enunciado pergunta quatro coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente cada pergunta e os dados fornecidos (pegar estes valores do enunciado):
-
Perguntas:
(a) Calcular a frequência dessa radiação.
(b) Calcular a amplitude do campo magnético.
(c) Escrever as expressões para os campose .
(d) Representar graficamente os campose e o vetor de Poynting . -
Dados fornecidos:
- Comprimento de onda:
. - A onda viaja no vácuo na direção
(isto é, propagação em direção negativa do eixo ). - O campo elétrico é paralelo ao eixo
e tem amplitude .
- Comprimento de onda:
A partir daqui começo a resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Frequência: relação fundamental entre velocidade, comprimento de onda e frequência. No vácuo a velocidade é a velocidade da luz
, e vale a fórmula
onde:
-
é a velocidade da luz no vácuo ( ), -
é o comprimento de onda, -
é a frequência.
Isolando
:
Agora substituo os valores numéricos (mostrando passo a passo):
Faço a conta:
Portanto a frequência é
Também é útil calcular a frequência angular
e o número de onda
, porque aparecem nas expressões dos campos:
Substituindo:
Explicação curta:
é a velocidade angular das oscilações (rad/s) e
mede quantas ondas cabem por metro (m^{-1}).
Passo 3
(b) Amplitude do campo magnético: relação entre amplitudes de campos elétrico e magnético para onda plana no vácuo. Num plano de onda eletromagnética no vácuo, as amplitudes satisfazem
onde:
-
é a amplitude do campo elétrico (em V/m), -
é a amplitude do campo magnético (em T), -
é a velocidade da luz.
Isto vem das equações de Maxwell para uma onda plana no vácuo (resumindo: campos elétrico e magnético são perpendiculares e têm módulos relacionados por
). Assim:
Substituo numericamente:
Portanto
Passo 4
(c) Expressões dos campos
e
.
Explicação física antes de escrever: para uma onda plana harmônica no vácuo a forma geral é
com
(direção e módulo ligados por produto vetorial). Aqui
é a direção de propagação (unitária) e
é uma fase inicial. No nosso caso:
- a direção de propagação é
, - o campo elétrico está paralelo a
, ou seja , - tomamos fase inicial
(podemos escolher assim sem perda de generalidade).
Calculando
: com
e
vem
. Portanto a fase
. Como
, é comum escrever a fase como
quando a propagação é em
.
Agora a direção de
deve satisfazer
(porque
aponta na direção da propagação, aqui
). Sabendo que
, concluímos
. Portanto
.
Assim as expressões (com
e
definidos antes) ficam:
onde numericamente
Observações didáticas rápidas:
- E e B estão em fase (mesma função coseno), como esperado para onda no vácuo.
- O sinal negativo em
indica que o campo magnético aponta na direção quando aponta em .
Passo 5
(d) Vetor de Poynting
— expressão e interpretação.
Definição: o vetor de Poynting instantâneo é
onde
é a permeabilidade magnética do vácuo (
). Substituindo as expressões encontradas:
Fazendo o produto vetorial e usando
:
Isto mostra que a energia é transportada na direção
, consistente com a direção de propagação.
Valor médio (intensidade média): a quantidade que normalmente interessa é o valor médio temporal de
(sobre um período), denotado
. Como
,
Usando
isto pode ser escrito também como
porque
.
Calculo numérico do valor médio (magnitude):
Substituindo
:
e a direção é
.
Interpretação: isto significa que a potência média transportada pela onda por unidade de área é muito pequena (da ordem de
) e flui na direção
.
Passo 6
Como representar graficamente (como esboçar)
,
e
— instruções para o desenho (passo a passo de como fazer um esboço claro na prova):
- Escolha um instante de tempo fixo, por exemplo
. Plote sobre o eixo a função . - Em cada posição
desenhe um pequeno vetor na direção cuja componente tem comprimento proporcional a . Assim obtém-se a “onda” do campo elétrico oscilando horizontalmente (para a direita/para a esquerda) conforme . - Em cada posição
desenhe um pequeno vetor para a direção (para baixo no papel, por exemplo) com comprimento proporcional a . Como , desenhe os vetores muito menores que os de (proporção ). - Os dois conjuntos de vetores oscilam em fase (crestos e vales no mesmo
), então os sinais dos vetores e mudam juntos. - Desenhe setas grandes apontando para
(para baixo na figura se for vertical para cima) para representar ; se quiser indicar variação instantânea, desenhe (sempre apontando para , magnitude oscilante entre e ), mas para a maioria das figuras é suficiente desenhar como uma seta constante para .
Dica prática para a prova: alinhe no papel os eixos de modo que
seja horizontal; desenhe os vetores
saindo/inclinando para cima/baixo (eixo
) e os vetores
para dentro/fora do plano (eixo
) ou para cima/baixo se preferir representar
no papel; simplesmente mantenha a perpendicularidade e a fase igual — isso é o que o examinador quer ver.
Resposta
(a)
(b)
(c)
com e
(d) (vetor médio
); numericamente
apontando para
.
(b)
(c)
com
(d)